已知和是函数的两个极值点其中求的取值范围若求的最大值注是自然对数的底数

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236556. （2017•高新一中•高二下期末）已知x＝m和x＝n是函数f（x）＝lnx+

x²﹣（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．
（Ⅰ）求f（m）+f（n）的取值范围；
（Ⅱ）若

，求f（n）﹣f（m）的最大值．（注：e是自然对数的底数）．

共享时间:2017-07-18 难度:2

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[考点]

函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的最值，

[校正]

[答案]

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[解析]

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

．
依题意，方程x²﹣（a+2）x+1＝0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．
故

，∴a＞0，
并且m+n＝a+2，mn＝1．
所以，

＝

故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）． …（7分）
（Ⅱ）当

时，

．
若设

，则

．
于是有

，∴

，∴t≥e
∴

构造函数

（其中t≥e），则

．
所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，

．
故f（n）﹣f（m）的最大值是

． …（15分）

[点评]

本题考查了"函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的最值，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

231657. （2015•西工大附中•二模）设函数f（x）＝x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

共享时间:2015-03-25 难度:2 相似度:2

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231100. （2016•西安一中•一模）已知a∈R，函数f（x）＝xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e²，﹣e^﹣1]上的最大值g（a）．

共享时间:2016-03-14 难度:3 相似度:1.67

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168082. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:1.5

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169764. （2023•师大附中•高二下期末）已知函数

．
（1）若a＝0，求不等式

的解集；
（2）若f（x）存在两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：lnx₁+lnx₂+x₁+x₂+x₁x₂＞2+a．

共享时间:2023-07-24 难度:1 相似度:1.5

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167855. （2024•西工大附中•模拟）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣a，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）设g（x）＝x•f（x），证明：g（x）存在唯一的极大值点x₀，且g（x₀）＜

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.5

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168105. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-20 难度:1 相似度:1.5

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