已知奇函数和偶函数满足分别求出函数和的解析式若对恒成立求实数的取值范围

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232739. （2023•高新一中•高一上二月）已知奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：∀x∈R，2^xf（x）+g（x）＝x²+4^x﹣1．
（1）分别求出函数f（x）和g（x）的解析式．
（2）若f（a^2x+a^x﹣t）+f（4﹣ta^x）≥0（a＞0，a≠1），对∀x∈R恒成立，求实数t的取值范围．

共享时间:2023-12-13 难度:3

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[考点]

函数解析式的求解及常用方法，函数的奇偶性，函数恒成立问题，

[答案]

（1）

；

（2）（﹣∞，3]．

[解析]

解：（1）用﹣x替换条件等式中的x得g（﹣x）+2^﹣x•f（﹣x）＝（﹣x）²+4^﹣x﹣1，
因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以g（x）﹣2^﹣x•f（x）＝x²+4^﹣x﹣1，
与g（x）+2^x•f（x）＝x²+4^x﹣1联立可得：

；
（2）因为y＝2^x在R上单调递增，
则

在R上单调递减，

在R上单调递增，
所以

在R上单调递增，且f（x）为奇函数，
所以f（a^2x+a^x﹣t）+f（4﹣ta^x）≥0（a＞0，a≠1），
即f（a^2x+a^x﹣t）≥﹣f（4﹣ta^x）（a＞0，a≠1），
即f（a^2x+a^x﹣t）≥f（﹣4+ta^x）（a＞0，a≠1），
即a^2x+a^x﹣t≥﹣4+ta^x（a＞0，a≠1），
即a^2x+a^x﹣t+4﹣ta^x≥0在R恒成立，
令a^x＝s，则s＞0，即s²+s﹣t+4﹣ts≥0，
整理得

，
当且仅当

，即s＝1，即x＝0时，等号成立，所以t∈（﹣∞，3]．

[点评]

本题考查了"函数解析式的求解及常用方法，函数的奇偶性，函数恒成立问题，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171305. （2024•西安中学•高一上期中）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）＝2^x+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出函数y＝f（x）的单调区间及值域．

共享时间:2024-11-16 难度:2 相似度:1.67

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170444. （2022•长安区一中•高二上期末）函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，g（x）＝1﹣e^x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:1.67

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167585. （2023•新城一中•高一上二月）已知函数

是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若x＞0时，关于x的不等式f（2x）≤mf（x）恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-12-13 难度:2 相似度:1.67

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170237. （2023•西安三中•高二下期末）已知函数f（x）＝3^x+（k﹣2）•3^﹣x（x∈R）为奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若对∀x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）+m•3^x≤6恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数g（x）＝λf（x）﹣（3^x+3^﹣x）²﹣5在[1，+∞）上有零点，求实数λ的取值范围．

共享时间:2023-07-07 难度:2 相似度:1.67

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170215. （2023•高新一中•高一上期末）设f（x）＝

（m＞0，n＞0）是奇函数．
（1）求m与n的值；
（2）如果对任意x∈R，不等式f（2a+cos²x）+f（4sinx﹣

﹣7）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-02-12 难度:2 相似度:1.67

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169990. （2023•西工大附中•高一上期末）已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，

且f（﹣1）＝f（1）．
（1）求f（x）在x∈[﹣1，1]上的解析式；
（2）若x∈（0，1），常数

，解关于x的不等式

．

共享时间:2023-02-20 难度:2 相似度:1.67

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169657. （2024•交大附中•高一上期末）已知函数

且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若对于任意的

恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:1.67

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169507. （2024•铁一中学•高一上期末）已知函数f（x）＝a﹣

为定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）（i）证明：f（x）为单调递增函数；
（ii）∀x∈（0，+∞），若不等式

＞0恒成立，求非零实数m的取值范围．

共享时间:2024-02-13 难度:2 相似度:1.67

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171125. （2024•西电附中•高一上期中）．已知函数

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[﹣1，1]上的值域；
（3）设g（x）＝kx+1﹣2k，若对任意的x₁∈[﹣1，1]，对任意的x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

共享时间:2024-11-21 难度:3 相似度:1.34

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170991. （2024•庆安中学（高）•高一上期中）已知函数

，且f（1）＝10，f（3）＝6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[3，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
（3）若不等式f（m²+3）＞10恒成立，求m的取值范围．

共享时间:2024-11-30 难度:3 相似度:1.34

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170972. （2024•曲江二中•高一上期中）已知函数

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）若f（x）≤m²﹣5mt﹣5对于任意的x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-11-24 难度:3 相似度:1.34

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169462. （2024•长安区一中•高一上期末）已知函数

为奇函数．
（1）求实数a的值，并用定义证明函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²+3）+f（t²﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:1.33

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171200. （2024•西安八十九中•高一上期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m²）．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求S的最大值，及此时长x的值．

共享时间:2024-11-19 难度:1 相似度:1.33

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170510. （2022•高新一中•高一上期末）若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使得f（x₁）f（x₂）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2^x^﹣1在定义域[m，n]（m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝（x﹣a）²