如图在四棱锥中底面是边长为的正方形侧面底面且设分别为的中点求证平面求证平面平面

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232354. （2023•铁一中学•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

a，设E，F分别为PC，BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PDC．

共享时间:2023-10-22 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，平面与平面垂直，

[校正]

[答案]

（Ⅰ）证明见解答．（Ⅱ）证明见解答．

[解析]

（Ⅰ）证明：连结AC，
∵底面ABCD为正方形，F分别为BD的中点，∴为AC中点，
又∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）证明：面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD＝AD，
又∵ABCD为正方形，CD⊥DA，平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，
又

，△PAD是等腰直角三角形，且PA⊥PD，
PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，且PD∩CD＝D，
∴PA⊥平面PDC，
又PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PDC，

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，平面与平面垂直，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

236972. （2015•高新一中•高二上期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．

共享时间:2015-02-23 难度:2 相似度:2

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236263. （2017•西安中学•高一上期末）如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，
（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．

共享时间:2017-02-15 难度:2 相似度:2

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167900. （2024•西安八十九中•三模）如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC＝∠AOB．
（1）证明：BE∥平面PAD
（2）求证：平面BEO⊥平面PCD．

共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:2

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171982. （2023•唐南中学•高一下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．

共享时间:2023-05-27 难度:2 相似度:2

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172270. （2022•师大附中•高一下期中）如图，长方体ABCD﹣A&₁B₁C₁D₁，AB＝AD＝1，AA₁＝2，点P为DD₁的中点．
求证：（1）直线BD₁∥平面PAC；
（2）平面BDD₁⊥平面PAC．

共享时间:2022-05-17 难度:2 相似度:2

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273257. （2021•西安高级中学•高一上二月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
（1）若CD∥平面PBO，求

；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

共享时间:2021-12-29 难度:2 相似度:2

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236494. （2016•西安中学•高一上期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A＝60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD＝CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD．

共享时间:2016-02-16 难度:2 相似度:2

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273277. （2020•师大附中•高一上二月） $德优题库$ 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．

共享时间:2020-12-23 难度:2 相似度:2

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167236. （2023•周至六中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）证明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.67

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231561. （2015•西安一中•二模）如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝

，CE＝2，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE；
（ III）求三棱锥F﹣ADB的体积．

共享时间:2015-03-25 难度:3 相似度:1.67

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260207. （2020•陕西省•真题）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点．过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥平面EB₁C₁F；
（2）设O为△A₁B₁C₁的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB₁C₁F，且∠MPN＝

，求四棱锥B﹣EB₁C₁F的体积．

共享时间:2020-06-15 难度:3 相似度:1.67

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270716. （2025•交大附中•高一下期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点．
$德优题库$
（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得PD∥平面AEF，说明理由；
（3）若F为线段DC的中点，PA=2，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥P-AEGF与P-ABCD的体积之比．