已知动点到点的距离等于它到直线的距离求点的轨迹的方程过点任意作互相垂直的两条直线分别交曲线于点和设线段的中点分别为求证直线恒过一个定点在的条件下求面积的最小值

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231587. （2015•西安一中•二模）已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x＝﹣1的距离．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．

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[考点]

恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合，轨迹方程，

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[答案]

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[解析]

解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），
由题意得，

，
化简得y²＝4x，
所以点M的轨迹C的方程为y²＝4x．（4分）
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则点P的坐标为

．
由题意可设直线l₁的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），
由

得k²x2﹣（2k²+4）x+k²＝0．
Δ＝（2k²+4）²﹣4k⁴＝16k²+16＞0．
因为直线l₁与曲线C于A，B两点，
所以x₁+x₂＝2+

，
y₁+y₂＝k（x₁+x₂﹣2）＝

．
所以点P的坐标为

．
由题知，直线l₂的斜率为

，同理可得点的坐标为（1+2k²，﹣2k）．
当k≠±1时，有

，
此时直线PQ的斜率k_PQ＝

．
所以，直线PQ的方程为

，
整理得yk²+（x﹣3）k﹣y＝0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（10分）
（Ⅲ）可求得|EF|＝2，
所以△FPQ面积

．
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，所以△FPQ面积的最小值为4．（13分）

[点评]

本题考查了"恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合，轨迹方程，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169946. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-10 难度:3 相似度:2

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169969. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-13 难度:3 相似度:2

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170816. （2020•西安中学•高二上期末）一个圆经过点F（2，0），且和直线x+2＝0相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

共享时间:2020-02-15 难度:2 相似度:1.67

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171439. （2024•长安区一中•高二下期中）已知动圆M经过定点

，且与圆F₂：

内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k_AP、k_AQ．
（i）求证：k_AP•k_AQ为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．

共享时间:2024-05-30 难度:2 相似度:1.67

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172182. （2022•西安三中•高二上期中）动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x＝

的距离的比是常数

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）直线l：y＝kx+b与M的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为（6，2），求直线l的方程．

共享时间:2022-11-22 难度:2 相似度:1.67

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170191. （2023•高新一中•高一下期末）已知圆C：x²+y²＝2x，动点P在y轴的右侧，P到轴的距离比它到的圆心C的距离小1．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，求|AB|及直线l的方程．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1.67

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168275. （2021•西安中学•五模）如图，已知点F₁（﹣1，0），F₂（1，0），以线段F₂G为直径的圆内切于圆O：x²+y²＝4．
（1）证明|GF₁|+|GF₂|为定值，并写出点G的轨迹E的方程；
（2）设点A，B，C是曲线E上的不同三点，且

，求△ABC的面积．

共享时间:2021-05-15 难度:2 相似度:1.67

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167943. （2023•师大附中•三模）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C与圆

内切，且与直线x＝﹣2相切，设动圆圆心C的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）已知P（4，y₀）（y₀＞0）是曲线E上一点，A，B是曲线E上异于点P的两个动点，设直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，且

，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67

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167146. （2023•西安中学•高二上二月）一动圆与圆C₁：x²+y²+6x+5＝0外切，同时与圆C₂：x²+y²﹣6x﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

共享时间:2023-12-17 难度:2 相似度:1.67

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232575. （2023•黄河中学•高二上二月）已知圆C₁：

，圆C₂：

，动圆C与这两个圆中的一个内切，另一个外切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程．
（2）若动圆圆心C的轨迹为曲线M，D（2，0），斜率不为0的直线l与曲线M交于不同于D的A，B两点，DE⊥AB，垂足为点E，若以AB为直径的圆经过点D，试问是否存在定点F，使|EF|为定值？若存在，求出该定值及F的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-28 难度:2 相似度:1.67

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