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230554. (2025•西工大附中•十二模) 已知正项数列{an},{bn},满足(其中c>0).
(1)若a1b1,且a1+b1≠2c,证明:数列{anbn}和{an+bn﹣2c}均为等比数列;
(2)若a1b1a1+b1=2c,以anbnc为三角形三边长构造序列△AnBnn(其中AnBncBnnanAnnbn),记△AnBnn外接圆的面积为Sn,证明:
(3)在(2)的条件下证明:数列{Sn}是递减数列.
共享时间:2025-07-25 难度:3
[考点]
等比数列的性质,数列的应用,数列递推式,
[答案]
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)证明见解析.
[解析]
证明:(1)正项数列{an},{bn},满足
两式相减可得:
a1b1,∴a1b1≠0,
∴{anbn}是以a1b1为首项,为公比的等比数列,
两式相加可得:
,因为a1+b1≠2c
a1+b1﹣2c≠0,∴{an+bn﹣2c}是以a1+b1﹣2c为首项,为公比的等比数列.
(2)∵a1b1,由(1)得{anbn}是等比数列,
anbn≠0,即anbn
由(1)知,
a1+b1=2c,∴a1+b1﹣2c=0,
∴{an+bn﹣2c}为常值数列0,故an+bn=2c


,∵anbn,∴等号不成立,∴
∵∁n∈(0,π),∴,∴
由正弦定理得△AnBnn外接圆的直径
,∴
(3)由(1)可知,
由(2)可知,an+bn=2c
解得

anbn随着n的增大而减小,又∵
∴cos∁n随着n的增大而减小,∴{cos∁n}是递减数列,
,∴{sin∁n}是递增数列,∴是递减数列,
∴数列{Sn}是递减数列.
[点评]
本题考查了"等比数列的性质,数列的应用,数列递推式,",属于"典型题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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231538. (2015•西安一中•一模) 已知数列{an}满足:a1=0且=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bnn∈N+),数列{bn}的前n项和为Sn,证明:Sn<1.
共享时间:2015-03-01 难度:1 相似度:1.33
231515. (2015•西安中学•一模) 已知数列{an}满足:a1=0且=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bnn∈N+),数列{bn}的前n项和为Sn,证明:Sn<1.
共享时间:2015-03-05 难度:1 相似度:1.33
170036. (2023•西工大附中•高三上期末) 已知数列{an}的首项为1,Sn为数列的前n项和,Sn+1xSn+1,其中x>0,n∈N*n≥2,
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:函数Fnx)=Sn+1﹣2在内有且仅有一个零点(记为xn)且
共享时间:2023-02-04 难度:1 相似度:1.33
166702. (2024•高新一中•高一上一月) 排序不等式:设a1a2≤…≤anb1b2≤…≤bn为两组实数,c1c2,…,cnb1b2,…,bn的任一排列,那么a1bn+a2bn﹣1+…+anb1a1c1+a2c2+…+ancna1b1+a2b2+…+anbn即“反序和≤乱序和≤顺序和”.
当且仅当a1a2=…=anb1b2=……=bn时,反序和等于顺序和.
(1)设a1a2,…,an为实数,b1b2,…,bna1a2,…,an的任一排列,则乘积的值a1b1+a2b2+…+anbn不会超过_____.
(2)设a1a2,⋯,ann个互不相同的正整数,求证:
(3)有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第ii=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分钟,假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少?
共享时间:2024-10-24 难度:1 相似度:1.33
230793. (2022•临潼区•二模) 已知数列{an}满足n∈N*),bn=log4an
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和Tn
共享时间:2022-03-18 难度:2 相似度:0.83
231583. (2015•西安一中•二模) 数列{an}满足a1=1,n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式an
(3)设bnnn+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn
共享时间:2015-03-23 难度:2 相似度:0.83
166254. (2024•师大附中•高二上二月) 设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=(2n﹣1)•an求数列{cn}的前n项和Tn
共享时间:2024-12-29 难度:2 相似度:0.83
230589. (2025•西工大附中•十三模) .已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sna1=1,且
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若,求t的取值范围.
共享时间:2025-07-25 难度:2 相似度:0.83
230608. (2025•临潼区•二模) 已知数列{an}满足
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令,记数列{bn}的前n项和为Sn,求证:
共享时间:2025-03-24 难度:2 相似度:0.83
230683. (2025•西安三中•四模) 已知:数列{an}的前n项和为Sna1=1,当n≥2时,anSn﹣1).
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)记[x]表示不超过x的最大整数,设,求数列{bn}前2025项和Tn
共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:0.83
231072. (2016•西安一中•一模) 已知{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足an
(Ⅰ)求证:数列{}是等差数列;
(Ⅱ)证明:S1+S2+S3+…+Sn
共享时间:2016-03-14 难度:2 相似度:0.83
230816. (2022•临潼区•二模) 已知数列{an}满足n∈N*),bn=log4an
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和Tn
共享时间:2022-03-18 难度:2 相似度:0.83
231727. (2014•师大附中•八模) 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(an+1)(n∈N*)在函数yx2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,bn+1bn+,求证:bnbn+2bn+12
共享时间:2014-06-12 难度:2 相似度:0.83
231096. (2016•西安一中•一模) 设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7且a1+3,3a2a3+4构成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bnlnann=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn
共享时间:2016-03-14 难度:2 相似度:0.83
231264. (2016•西工大附中•五模) 已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2a3a6成等比数列.
(Ⅰ)求an的通项公式;
(Ⅱ)设bn,求数列{bn}的前n项和Sn
共享时间:2016-05-11 难度:2 相似度:0.83

dygzsxyn

2025-07-25

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2020*西工大*期末
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