排序不等式设为两组实数是的任一排列那么即反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和设为实数是的任一排列则乘积的值不会超过设

首页 > 试题列表 > 单题解析

166702. （2024•高新一中•高一上一月）排序不等式：设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n为两组实数，c₁，c₂，…，c_n是b₁，b₂，…，b_n的任一排列，那么a₁b_n+a₂b_n_﹣1+…+a_nb₁≤a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n即“反序和≤乱序和≤顺序和”．
当且仅当a₁＝a₂＝…＝a_n或b₁＝b₂＝……＝b_n时，反序和等于顺序和．
（1）设a₁，a₂，…，a_n为实数，b₁，b₂，…，b_n是a₁，a₂，…，a_n的任一排列，则乘积的值a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n不会超过_____．
（2）设a₁，a₂，⋯，a_n是n个互不相同的正整数，求证：

．
（3）有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i（i＝1，2，…，10）个人的水桶需要t_i分钟，假定这些t_i各不相同．问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

共享时间:2024-10-24 难度:1

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

数列的应用，

[答案]

（1）

．
（2）证明过程见解答．
（3）各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水，等候的总时间最少为10h₁+9h₂+⋯+h₁₀．

[解析]

解：（1）由题意b₁，b₂，…，b_n是a₁，a₂，…，a_n的任一排列，
设两组数a₁，a₂，…，a_n与b₁，b₂，…，b_n，
则a₁b₁+a₂b₂+⋯+a_nb_n可看作a₁，a₂，…，a_n与b₁，b₂，…，b_n两组实数的“乱序和”；
设c₁，c₂，…，c_n也是a₁，a₂，…，a_n的一个排列，且c₁≤c₂≤…≤c_n，
其中满足集合{a₁，a₂，…，a_n}＝{b₁，b₂，…，b_n}＝{c₁，c₂，⃯⋯，c_n}．
则

₁，a₂，…，a_n与，b₂，…，b_n两组实数的“顺序和”，
且c

+…+c

＝a

+…+a

．
则由排序不等式：乱序和≤顺序和，
得

．
故空格处填：

．
（2）证明：设两组数：a₁，a₂，…，a_n与1，

，…，

．
由a₁，a₂，…，a_n是n个互不相同的正整数，
设b₁，b₂，…，b_n是a₁，a₂，…，a_n的一个排列，且满足b₁＜b₂＜⋯＜b_n，
即b₁，b₂，…，b_n是这n个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此b₁≥1，b₂≥2，…，b_n≥n．
又因为

，
故由排序不等式：乱序和≥反序和，
得

≥

．
故

，命题得证．
（3）由题意可知，水龙头注满第i（i＝1，2，…，10）个人的水桶需要t_i分钟，
则第i个人打水时，10﹣（i﹣1）即11﹣i（i＝1，2，…，10）个人都在等，需要等候总时间为（11﹣i）t_i，
故所有人打完水，他们等候的总时间为

．
设两组数：t₁，t₂，t₃，…，t₁₀与10，9，8，…，1．
由假定，这些t_i各不相同，
设h₁，h₂，h₃，…，h₁₀为t₁，t₂，t₃，…，t₁₀的一个排列，且h₁＜h₂＜h₃＜⋯＜h₁₀，
又因为10＞9＞8＞…＞1，
由排序不等式：乱序和≥反序和，
得10t₁+9t₂+⋯+2t₉+t₁₀≥10h₁+9h₂+⋯+h₁₀．
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水．
等候的总时间最少为10h₁+9h₂+⋯+h₁₀，其中h₁，h₂，h₃，…，h₁₀为t₁，t₂，…，t₁₀从小到大的一个顺序排列．

[点评]

本题考查了"数列的应用，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

dygzsxyn

2024-10-24

高中数学 | 高一上 | 解答题

下载量
浏览量
收益额

相关试卷 更多>>

2024-2025学年陕西省西安市高新一中（上）第一次月考数学试卷

更新:2024-10-24 07:57浏览量:5

普通登录

手机登录

微信扫码立即登录