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232113. (2024•西工大附中•高二下一月) 今有一个“数列过滤器”,它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列,每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项,将这样的操作记为L(M,N)操作.设数列{an}是无穷非减正整数数列.
(1)若an=2n-1,n∈N+,{an}进行L(2,1)操作后得到{bn},设an+bn前n项和为Sn
①求Sn
②是否存在p,q,r∈N+,使得Sp,Sq,Sr成等差?若存在,求出所有的(p,q,r);若不存在,说明理由.
(2)若an=n,n∈N+,对{an}进行L(4,0)与L(4,1)操作得到{bn},再将{bn} 中下标除以4余数为0,1的项删掉最终得到{cn} 证明:每个大于1的奇平方数都是{cn} 中相邻两项的和.
共享时间:2024-04-28 难度:1
[考点]
数列的应用,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
解:(1)①解:今有一个“数列过滤器”,它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项,
并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列,
每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项,将这样的操作记为LMN)操作,
an=2n﹣1n∈N+,{an}进行L(2,1)操作后得到{bn},
n≥2时,N+,故bn=2nn∈N+
Sn=3×=3(2n﹣1),n∈N*
②解:假设存在pqr∈N+,使得SpSqSr成等差,
Sn单调递增,不妨设pqr∈N+,2SqSp+Srpqr∈N+
化简得2qp+1=1+2rq
左式为偶数,右式为奇数,矛盾,
故不存在pqr∈N+,使得SpSqSr成等差.
(2)证明:∵annn∈N+,∴由题意知a4n=4na4n﹣3=4n﹣3,a4n﹣2=4n﹣2,a4n﹣1=4n﹣1,
所以保留a4n﹣2a4n+1,则b2n﹣1=4n﹣2,b2n=4n﹣1.
b4n+1=8n+2,b4n+2=8n+3,b4n+3=8n+6,b4n+4=8n+7,
b4nb4n+1删去,得到cn,则c2n+1=8n+3,c2n+2=8n+6,
也即
,下面证明:

知:+=8(4m2+m)﹣2+8(4m2+m+1)﹣5=[2(4m)+1]2
=[2(4m+1)+1]2
同理可得:=[2(4m+2)+1]2=[2(4m+3)+1]2
合并以上四式,便证明了对任意的k∈N*,都有(2k+1)2
故每个大于1的奇平方数都是{cn} 中相邻两项的和.
[点评]
本题考查了"数列的应用,",属于"基础题",熟悉题型是解题的关键。
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166702. (2024•高新一中•高一上一月) 排序不等式:设a1a2≤…≤anb1b2≤…≤bn为两组实数,c1c2,…,cnb1b2,…,bn的任一排列,那么a1bn+a2bn﹣1+…+anb1a1c1+a2c2+…+ancna1b1+a2b2+…+anbn即“反序和≤乱序和≤顺序和”.
当且仅当a1a2=…=anb1b2=……=bn时,反序和等于顺序和.
(1)设a1a2,…,an为实数,b1b2,…,bna1a2,…,an的任一排列,则乘积的值a1b1+a2b2+…+anbn不会超过_____.
(2)设a1a2,⋯,ann个互不相同的正整数,求证:
(3)有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第ii=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分钟,假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少?
共享时间:2024-10-24 难度:1 相似度:2
232873. (2024•西安三中•高二下一月) 基本不等式可以推广到一般的情形:对于n个正数a1a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1a2=…=an时,等号成立.若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质:①∃M>0,anM;②{an}为单调数列,则称数列{an}具有性质P
(1)若,求数列{an}的最小项;
(2)若,记,判断数列{Sn}是否具有性质P,并说明理由;
(3)若,求证:数列{cn}具有性质P
共享时间:2024-04-19 难度:1 相似度:2
230516. (2025•长安区•三模) 定义1:若数列{an}满足①a1=1,②∀n≥2,anan﹣1)=0,则称{an}为“两点数列”;定义2:对于给定的数列{an},若数列{bn}满足①b1=1,②bn+1=|an+1﹣2an|•bn,则称{bn}为{an}的“生成数列”.已知{an}为“两点数列”,{bn}为{an}的“生成数列”.
(1)若,求{bn}的前n项和Sn
(2)设p:{an}为常数列,q:{bn}为等比数列,从充分性和必要性上判断pq的什么条件;
(3)求b2025的最大值,并写出使得b2025取到最大值的{an}的一个通项公式.
共享时间:2025-04-08 难度:2 相似度:1.5
236911. (2016•长安区一中•高一下期末) 把正奇数数列{2n﹣1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表:
amnmn∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数.
(1)若amn=2017,求mn的值;
(2)已知函数fx)=x>0),若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn,求数列{fbn)}的前n项和Sn

共享时间:2016-07-14 难度:2 相似度:1.5
237231. (2021•师大附中•高二下期中) 一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6).
(1)求P0P1P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn﹣2Pn﹣1表示Pn
(2)求证:{PnPn﹣1}(n=1,2…,100)是等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
共享时间:2021-05-11 难度:2 相似度:1.5
230554. (2025•西工大附中•十二模) 已知正项数列{an},{bn},满足(其中c>0).
(1)若a1b1,且a1+b1≠2c,证明:数列{anbn}和{an+bn﹣2c}均为等比数列;
(2)若a1b1a1+b1=2c,以anbnc为三角形三边长构造序列△AnBnn(其中AnBncBnnanAnnbn),记△AnBnn外接圆的面积为Sn,证明:
(3)在(2)的条件下证明:数列{Sn}是递减数列.
共享时间:2025-07-25 难度:3 相似度:1.33

dygzsxyn

2024-04-28

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2020*西工大*期末
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