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212163. （2025•滨河中学•五模）系统找不到该试题

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[考点]

等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，

[答案]

（1）

；

（2）存在；四边形ABGE的面积S的最大值是（

）km²．

[解析]

解：（1）设等边△ABC外接圆的圆心为K，连接AK并延长交BC于点M，连接BK，如图1所示：

∵等边△ABC的边长为10，
∴BC＝10，∠ABC＝60°，
∵点K是△ABC的外心，
∴AM⊥BC，BM＝CM＝

BC＝5，∠KBM＝

∠ABC＝30°，BK是⊙K的半径，
在Rt△BMK中，cos∠KBM＝

，
∴BK＝

＝

，
∴△ABC的外接圆的半径为

，
故答案为：

；
（2）存在，
设BC，ED的延长线交于点P，作△BEG的外接圆⊙O，连接OB，OE，OG，过点G作GH⊥BE于点H，过点O作OR⊥BE于点R，如图2所示：

∵AB＝AE＝

km，∠BAE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
由勾股定理得：BE＝

＝√

＝16（km），
∵∠ABC＝∠AED＝105°，
∴∠PBE＝∠ABC﹣∠ABC＝60°，∠PEB＝∠AED﹣∠AEB＝60°，
∴∠PBE＝∠PEB＝60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴PB＝BE＝EP＝16km，∠BED＝∠P＝60°，
∵BC+DE＝

AB＝

＝16（km），
∴PB＝BC+DE，
∵PB＝BC+CP，
∴DE＝CP，
在△BED和△EPC中，

，
∴△BED≌△EPC（SAS），
∴∠EBD＝∠PEC，
∵∠PEC+∠BEG＝∠PEB＝60°，
∴∠EBD+∠BEG＝60°，
在△BEG中，∠BGE＝180°﹣（∠EBD+∠BEG）＝120°，
∵∠BAE＝90°，GH⊥BE
∴四边形ABGE的面积S＝S_△ABE+S_△GNE＝

＝64+8GH，
∴当GH为最大时，四边形ABGE的面积S为最大，
根据“垂线段最短”得：OR+GH≤OG，
∴当点H，点R重合时，GH为最大，最大值为

OG，
当点H，点R重合时，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得四边形OBGE是菱形，
∴∠BOE＝∠BGE＝120°，
由垂径定理得：∠BOR＝

∠BOE＝60°，BR＝

BE＝8km，
在Rt△BOR中，sin∠BOR＝

，
∴OB＝

＝

（km），
∴OG＝OB＝

（km），
∴GH的最大值为：

OG＝

＝

（km），
∴四边形ABGE的面积S的最大值为：64+8GH＝

＝（

）km²．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.5

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.25

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.25

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.25

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.25

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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4514. （2018•师大附中•模拟）问题探究
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝

，BC＝4，请在直线BC上方找一点Q，使△BQC是以BC为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，并求出此时△BQC的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝4，在△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，请在图2中画出所有符合条件的点M位置；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝3，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB＝60°，请在图3中画出符合要求的点P，并求出△ABP的最大面积．

共享时间:2018-06-04 难度:5 相似度:0.9

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1092. （2020•陕西省•真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:0.9

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4539. （2018•交大附中•模拟）（1）如图1，已知AC、BC为⊙O的两条弦，点D为⊙O外一点，则∠ACB　　∠ADB（请用“＜”“＞”或“＝”填空）

（2）①如图2，若等边△ABC内接于⊙O，AB＝4，CD为⊙O的切线，则△ABD的面积为　　．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高．若CD＝4，试判断△ABC的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图4，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且∠EDF＝45°，求四边形DEBF面积的最大值.

共享时间:2018-06-06 难度:5 相似度:0.79

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4533. （2018•交大附中•模拟）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
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共享时间:2018-06-06 难度:3 相似度:0.75

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4508. （2018•师大附中•模拟）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．
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共享时间:2018-06-04 难度:2 相似度:0.75

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466. （2017•陕西省•副题）如图，在▱ABCD中，延长BA到点E，延长DC到点F，使AE＝CF，连接EF交AD边于点G，交BC边于点H．求证：DG＝BH．

共享时间:2017-07-10 难度:3 相似度:0.75

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2891. （2019•益新中学•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.75

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1089. （2020•陕西省•真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

共享时间:2020-07-30 难度:3 相似度:0.75

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3139. （2018•滨河中学•真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．
$德优题库$

共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:0.75

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bjy@dyw.com

2025-05-14

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2025年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷

更新:2025-05-14 11:54浏览量:32

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