问题提出如图在平行四边形中分别是的中点点在上且点在上且求四边形的面积结果保留根号问题解决如图某市有一块五边形空地现规划在空地内部修建一个四边形公园使点分别在边上且满足已知在五边形中为使

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211619. （2025•高新一中•三模）（1）问题提出：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=12．E，H分别是AD，AB的中点，点F在DC上，且DF=10∠A=60°，点G在BC上，且BG=4，求四边形EFGH的面积（结果保留根号）；
（2）问题解决：如图②，某市有一块五边形空地ABCDE，现规划在空地内部修建一个四边形公园OPMN，使点O，P，M，N分别在边BC，CD，AE，AB上，且满足AN=CP，AM=OC．已知在五边形ABCDE中，∠BAE=∠B=∠BCD=90°，AB=AE=600m,BC=1000m,CD=400m,为使游客更好的放松游玩，公园OPMN的边MP∥AC，且面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的四边形OPMN？若存在，求出四边形OPMN面积的最大值及此时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2025-04-04 难度:5

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[考点]

二次函数的应用题，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，

[答案]

（1）

；

（2）存在，面积最大值为300000m²，此时点N到点A的距离为300m．

[解析]

解：（1）过点D作DK⊥AB，垂足为K，过点E作MN⊥AB，垂足为N，交CD的延长线于点M，过点G作PQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，交CD于点P，如图：

∵DC∥AB．AB＝CD＝16，AD＝BC＝12，
∴MN⊥CD，PQ⊥CD，
∵

，

，
∴

，

，
根据平行的性质可得：∠MDA＝∠DAB＝60°，∠C＝∠CBQ＝60°，
∴CG＝BC﹣BG＝12﹣4＝8，
∴

，

，
∵DF＝10，
∴CF＝CD﹣DF＝16﹣10＝6，
∴S_{四边形FEGH}＝S_ABCD﹣S_△AEH﹣S_△DEF﹣S_△CFG﹣S_△HBG
＝

＝

；
（2）延长AE、CD交于点Q，则四边形ABCQ为矩形，

∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠Q＝90°，AB＝CQ，AQ＝BC，
∵AN＝CP，AM＝OC，
∴MQ＝OB，PQ＝NB，
∴△ANM≌△CPO（SAS），△BNO≌△QPM（SAS），
根据全等三角形的性质可得：MN＝OP，MP＝NO
设AN＝CP＝x，AM＝OC＝y，则MQ＝BO＝（1000﹣y），BN＝PQ＝（600﹣x），
∵MP∥AC
∴

∴

，即

∵S_{四边形OPMN}＝S_矩形ABCQ﹣2S_△AMN﹣2S_△QMP，
∴

，

，
∴

，
∴当x＝300m时，面积的最大，为300000m²
此时

，
∴存在面积最大的四边形OPMN，最大值为300000m²，此时点N到点A的距离为300m．

[点评]

本题考查了"二次函数的应用题，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

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共享时间:2018-06-06 难度:3 相似度:1.29

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957. （2016•陕西省•真题）如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．

共享时间:2016-07-11 难度:3 相似度:1.29

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3139. （2018•滨河中学•真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:1.29

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4683. （2018•交大附中•模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE．求证：DE＝AC．

共享时间:2018-06-25 难度:3 相似度:1.29

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.14

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.14

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.14

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781. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
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共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.14

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．