问题提出如图中为的外心连接求的长问题解决如图某社区广场建有一块边长为米的正方形草坪管理部门在草坪里修建了两条直道其中为六个出入口过分别修建与垂直的小道即现准备投资元再建一条小道已知修建小道的费用为元米请通过计算确定投资是否满足要求参考数据

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211488. （2025•蓝田县•一模）问题提出
（1）如图1，△ABC中，∠C＝60°，AB＝12，O为△ABC的外心，连接OB，求OB的长；
问题解决
（2）如图2，某社区广场建有一块边长为100米的正方形草坪ABCD，管理部门在草坪里修建了两条直道DE、DF，其中∠EDF＝45°，A、B、C、D、E、F为六个出入口，过A、C分别修建与DE、DF垂直的小道AM、CN，（即AM⊥DE，CN⊥DF）现准备投资6000元再建一条小道MN，已知修建小道的费用为85元/米，请通过计算确定投资是否满足要求．（参考数据：

，

）

共享时间:2025-03-07 难度:5

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[考点]

全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形的应用，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，

[答案]

（1）

；

（2）投资金额满足要求

[解析]

解：（1）如图1，连接OA，则∠AOB＝2∠C＝120°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，则

，

．
∴

；

（2）如图2，将△DCN绕点D顺时针旋转90°得△DAN′，则∠DN′A＝∠DNC＝90°，DN′＝DN，∠NDN′＝90°，连接MN′．

∵∠EDF＝45°，
∴∠MDN′＝∠EDF＝45°．
∵DN′＝DN，DM＝DM，
在△DN′M和△DNM中，

，
∴△DN′M≌△DNM（SAS），
∴MN'＝MN，
取AD的中点O，连接OM、ON′，
则

米，
∴A，N′，D，M在以AD为直径的⊙O上．
∴∠MON′＝2∠MDN′＝90°，
∴

米，
∴

米，

，
∴投资金额满足要求．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形的应用，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

2891. （2019•益新中学•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:1.4

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915. （2017•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.4

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.2

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.2

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.2

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.2

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.2

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.9

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4514. （2018•师大附中•模拟）问题探究
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝

，BC＝4，请在直线BC上方找一点Q，使△BQC是以BC为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，并求出此时△BQC的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝4，在△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，请在图2中画出所有符合条件的点M位置；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝3，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB＝60°，请在图3中画出符合要求的点P，并求出△ABP的最大面积．