如图正方形的边长为是边的中点点在射线上过作于请判断与是否相似并说明理由当点在射线上运动时设是否存在实数使以为顶点的三角形也与相似若存在请求出的值若不存在说明理由

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198728. （2022•西北大附中•九上期中） $德优题库$ 如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）请判断△PFA与△ABE是否相似，并说明理由；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

共享时间:2022-11-30 难度:2

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相似

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[考点]

相似三角形的判定，正方形的性质，

[答案]

（1）△PFA∽△ABE，理由见解析；（2）存在，x的值为4或10．

[解析]

解：（1）△PFA∽△ABE，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，且∠ABE＝90°，
∴∠PAF＝∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝∠ABE＝90°，
∴△PFA∽△ABE；

（2）①若△EFP∽△ABE，如图，

∵△EFP∽△ABE，
∴∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA＝EB＝

BC＝4，即x＝4．
②如图，若△PFE∽△ABE，

∵△PFE∽△ABE，
∴∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE＝

＝4

，
∴EF＝

AE＝2

，
∵△PFE∽△ABE，
∴

，即

，
∴PE＝10，即x＝10．
∴满足条件的x的值为4或10．

[点评]

本题考查了"相似三角形的判定，正方形的性质，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27751. （2023•航天中学•九上二月） $德优题库$ 如图，点C，F在线段BD上，AB∥DE，

，求证：△ABC∽△EDF．

共享时间:2023-10-10 难度:1 相似度:1.5

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181245. （2024•西光中学•八下二月） $德优题库$ 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，且∠BAE=30°，请用尺规作图法，在CD上求作一点F，使点F到AE的距离等于DF的长．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-06-24 难度:1 相似度:1.5

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181177. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF=180°（不写作法，保留作图痕迹）．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.5

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172911. （2024•高新一中•九上一月）如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．

共享时间:2024-10-17 难度:1 相似度:1.5

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180241. （2023•航天中学•八上二月）已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:1.5

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176123. （2024•西安八十九中•九上一月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度．

共享时间:2024-10-15 难度:1 相似度:1.5

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172489. （2024•高新陆港•九上一月） $德优题库$ 已知，如图，△ABC中，AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2．求证：△ABD∽△CBA．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:1.5

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173836. （2024•高新一中•九上二月）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:1.5

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25987. （2024•西工大附中•二模）如图，已知正方形ABCD，请用尺规作图法，在正方形ABCD内部找一点P，使得PB=PC，且∠PBA=30°．（保留作图痕迹，不写作法）
$德优题库$

共享时间:2024-03-12 难度:3 相似度:1

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173644. （2024•远东二中•九上一月） $德优题库$ 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，求GH的长．

共享时间:2024-10-25 难度:2 相似度:1

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647. （2019•陕西省•副题）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2m，小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝6m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG．求旗杆的高度PA．（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2）

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1

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172787. （2024•曲江一中•九上一月） $德优题库$ 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

共享时间:2024-10-11 难度:2 相似度:1

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172919. （2024•高新一中•九上一月）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝7cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连接PQ．如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t s．
（1）当t为多少时，PQ的长度等于