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169395. (2024•西安中学•高三上期末) 已知抛物线Cy2=2x,过点(2,0)的直线lCAB两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,﹣2),求直线l与圆M的方程.
共享时间:2024-02-08 难度:1
[考点]
直线与抛物线的综合,
[答案]
(1)证明:当直线l的斜率不存在时,则A(2,2),B(2,﹣2),
=(2,2),=(2,﹣2),则=0,

则坐标原点O在圆M上;
当直线l的斜率存在,设直线l的方程ykx﹣2),Ax1y1),Bx2y2),
,整理得:k2x2﹣(4k2+2)x+4k2=0,
x1x2=4,4x1x2=(y1y22,由y1y2<0,
y1y2=﹣4,
x1x2+y1y2=0,
,则坐标原点O在圆M上,
综上可知:坐标原点O在圆M上;
(2)(x2+(y+2,或(x﹣3)2+(y﹣1)2=10.
[解析]
解:方法一:证明:(1)当直线l的斜率不存在时,则A(2,2),B(2,﹣2),
=(2,2),=(2,﹣2),则=0,

则坐标原点O在圆M上;
当直线l的斜率存在,设直线l的方程ykx﹣2),Ax1y1),Bx2y2),
,整理得:k2x2﹣(4k2+2)x+4k2=0,
x1x2=4,4x1x2=(y1y22,由y1y2<0,
y1y2=﹣4,
x1x2+y1y2=0,
,则坐标原点O在圆M上,
综上可知:坐标原点O在圆M上;
方法二:设直线l的方程xmy+2,
,整理得:y2﹣2my﹣4=0,Ax1y1),Bx2y2),
y1y2=﹣4,
则(y1y22=4x1x2,则x1x2=4,则x1x2+y1y2=0,
,则坐标原点O在圆M上,
∴坐标原点O在圆M上;
方法三:设A(2a2,2a),B(2b2,2b),则
所以ab=﹣1,
因此
所以坐标原点O在圆M上;
注:其中过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线的横截距a和纵截距为b分别为

(2)由(1)可知:x1x2=4,x1+x2y1+y2y1y2=﹣4,
M过点P(4,﹣2),则=(4﹣x1,﹣2﹣y1),=(4﹣x2,﹣2﹣y2),
=0,则(4﹣x1)(4﹣x2)+(﹣2﹣y1)(﹣2﹣y2)=0,
整理得:k2+k﹣2=0,解得:k=﹣2,k=1,
k=﹣2时,直线l的方程为y=﹣2x+4,
x1+x2y1+y2=﹣1,
M,﹣),半径为r=|MP|=
∴圆M的方程(x2+(y+2
当直线斜率k=1时,直线l的方程为yx﹣2,
同理求得M(3,1),则半径为r=|MP|=
∴圆M的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10,
综上可知:直线l的方程为y=﹣2x+4,圆M的方程(x2+(y+2
或直线l的方程为yx﹣2,圆M的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10.
[点评]
本题考查了"直线与抛物线的综合,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
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169216. (2025•师大附中•高二上期末) 已知抛物线Cx2=2pyp>0)的焦点为F.且F与圆Mx2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点P在圆M上,PAPBC的两条切线.AB是切点,求△PAB面积的最大值.
共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:2
167604. (2023•新城一中•高二上二月) 如图抛物线顶点在原点,圆(x﹣2)2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)一直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于ABCD四点,求|AB|+|CD|的值.

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:2
170148. (2023•铁一中学•高二下期末) 已知曲线C上任意一点M满足|MF1|﹣|MF2|=2,且F1(﹣2,0),F2(2,0).
(1)求C的方程;
(2)设A(﹣1,0),B(1,0),若过F2(2,0)的直线与C交于PQ两点,且直线APBQ交于点R.证明:点R在定直线上.
共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:2
170302. (2022•西安中学•高二上期末) 已知抛物线Cy2=2x,过点A(2,0)且斜率为k的直线与抛物线C相交于PQ两点.
(Ⅰ)设点Bx轴上,分别记直线PBQB的斜率为k1k2.若k1+k2=0,求点B的坐标;
(Ⅱ)过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于MN两点,求的值.
共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:2
170465. (2022•西工大附中•高一下期末) 如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2pxp>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于AB两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心Gx轴上,直线ACx轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1S2
(Ⅰ)求p的值及抛物线的准线方程;
(Ⅱ)求的最小值及此时点G的坐标.

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:2
170793. (2020•西安中学•高二上期末) 已知过抛物线y2=2pxp>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于Ax1y1),Bx2y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求λ的值.
共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:2
166528. (2024•城关中学•高二上二月) 如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2xMx1y1),Nx2y2)两点.
(1)求x1x2的值;
(2)求证:OMON

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:2
171481. (2023•西工大附中•高二上期中) 在平面直角坐标系xOy中,已知直线lxy﹣2=0,抛物线Cy2=2pxp>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)当p=1时,若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点PQ,求线段PQ的中点M的坐标.
共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:2
166331. (2024•西安中学•高二上二月) 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于AB两点.
(1)若|AF|=4,求点A的坐标;
(2)求线段AB长的最小值.
(3)过抛物线顶点O作两条相互垂直的直线OMON分别交抛物线于MN.证明:直线MN过定点.
共享时间:2024-12-23 难度:1 相似度:2
171049. (2025•高新一中•高二下期中) 已知抛物线Cx2=2pyp>0),QC上一点.
(1)证明:以点Q为圆心且过点的圆与C的准线相切.
(2)若动直线lykx+2与C相交于MN两点,点Pt,﹣2)满足OPlO为坐标原点),且直线PMPN的斜率之和为2k
i)求C的方程;
ii)过点QC的切线l′,若l′∥l,求△MPQ的面积的最小值.
共享时间:2025-05-28 难度:2 相似度:1.5
171030. (2025•高新一中•高二下期中) 已知抛物线Cx2=2pyp>0),QC上一点.
(1)证明:以点Q为圆心且过点的圆与C的准线相切.
(2)若动直线lykx+2与C相交于MN两点,点Pt,﹣2)满足OPlO为坐标原点),且直线PMPN的斜率之和为2k
i)求C的方程;
ii)过点QC的切线l′,若l′∥l,求△MPQ的面积的最小值.
共享时间:2025-05-13 难度:2 相似度:1.5
170666. (2021•长安区一中•高二上期末) 已知抛物线Cy2=2pxp>0)的焦点为FO为坐标原点,点PQ是抛物线C上异于点O的两个不同的动点,当直线PQ过点F时,|PQ|的最小值为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若OPOQ,证明:直线PQ恒过定点.
共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1.5
170644. (2021•长安区一中•高二上期末) .已知抛物线Cy2=2pxp>0)的焦点为FO为坐标原点,点PQ是抛物线C上异于点O的两个不同的动点,当直线PQ过点F时,|PQ|的最小值为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若OPOQ,证明:直线PQ恒过定点.
共享时间:2021-02-28 难度:2 相似度:1.5
171504. (2023•铁一中学•高二上期中) 已知抛物线y2=2pxp>0)的焦点为F,点A(2,y0)为抛物线上一点,且|AF|=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)不过原点的直线lyx+m与抛物线交于不同两点PQ,若OPOQ,求m的值.
共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1.5
170060. (2023•西工大附中•高二上期末) 已知抛物线x2=2pyp>0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于AB两点,过点Bx轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.
(Ⅰ)求点C的轨迹M的方程;
(Ⅱ)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为PM与直线m交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1.5

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2024-02-08

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