已知抛物线为上一点证明以点为圆心且过点的圆与的准线相切若动直线与相交于两点点满足为坐标原点且直线的斜率之和为求的方程过点作的切线若求的面积的最小值

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171030. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-05-13 难度:2

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[考点]

抛物线的焦点与准线，直线与抛物线的综合，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）（i）x²＝4y；（ii）

．

[解析]

解：（1）证明：由抛物线方程x²＝2py（p＞0）得抛物线C的焦点为F

，准线方程为

，
因为Q为C上一点，所以由抛物线的定义得|QF|等于点Q到C的准线的距离，
所以以Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）（i）当k＝0时，点M，N关于y轴对称，点P（0，﹣2），
直线PM，PN关于y轴对称，k_PM+k_PN＝0＝2k成立．
当k≠0时，由OP⊥l得

，直线OP的方程为

，
将点P的坐标（t，﹣2）代入，可得t＝2k，则P（2k，﹣2）．
联立

，消去y得x²﹣2pkx﹣4p＝0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂＝2pk，x₁x₂＝﹣4p．
因为k_PM+k_PN＝2k，
所以

，
化简可得2（k²+2）（x₁+x₂﹣4k）＝0，则2（k²+2）（2pk﹣4k）＝0，
由k²+2≠0得，2pk﹣4k＝0，由k≠0得p＝2，
故C的方程为x²＝4y．

（ii）设直线l′：y＝kx+n，
联立

，消去y得x²﹣4kx﹣4n＝0，
因为l'与抛物线C相切，所以Δ＝16k²+16n＝0，即n＝﹣k²，
所以x²﹣4kx+4k²＝0，解得x_Q＝2k，

，故点Q（2k，k²）．
设MN的中点为E，因为x₁+x₂＝2pk＝4k，
所以

，y_E＝

，故E（2k，2k²+2）．
因为

，所以P，Q，E三点共线，且Q为线段PE的中点，
所以△MPQ的面积为△MEP的面积的

，
由E为MN的中点得，△MEP的面积为△MNP的面积的

，
所以△MPQ的面积为△MNP的面积的

．
因为x₁+x₂＝2pk＝4k，x₁x₂＝﹣4p＝﹣8，
所以

．
因为点P（2k，﹣2）到直线MN：kx﹣y+2＝0的距离

，
所以

，
当且仅当k＝0时等号成立，故△MPQ的面积的最小值为

．

[点评]

本题考查了"抛物线的焦点与准线，直线与抛物线的综合，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171592. （2023•西安三中•高三上期中）已知F为抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为﹣1，△OFM的面积为4．
（1）求C的方程；
（2）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:2

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168367. （2022•长安区一中•三模）已知抛物线C：x²＝2py的焦点F到准线的距离为2．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M（t，0）（其中t＞0）作两条相互垂直的直线l₁、l₂，直线l₁与抛物线C相切于点N（N在第一象限内），直线l₂与抛物线C相交于A、B两点，记直线AN、BN的斜率分别为k₁、k₂，求

的最小值．

共享时间:2022-04-05 难度:2 相似度:2

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171504. （2023•铁一中学•高二上期中）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:2

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

共享时间:2025-05-28 难度:2 相似度:2

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170666. （2021•长安区一中•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:2

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170644. （2021•长安区一中•高二上期末）．已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-28 难度:2 相似度:2

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170060. （2023•西工大附中•高二上期末）已知抛物线x²＝2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:2

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170033. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（0＜p＜6）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P（1，2），求直线l的方程．

共享时间:2023-02-04 难度:2 相似度:2

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170012. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），点A（4，﹣1），P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|+d的最小值为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在实数λ，使得

，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:2

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169331. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l与抛物线y²＝2x分别交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求证：x₁x₂为定值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:2

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169148. （2020•西工大附中•二模）已知F为抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为

的直线l₁与抛物线E相交于A、B两点，且|AB|＝12，过点F且斜率为

的直线l₂与抛物线E相交于C、D两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若点A和C均在第一象限，求证：抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:2

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169146. （2020•西工大附中•二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂＝8，S_n+S_n₊₁＝4（n+1）²．
（1）求数列{a_n+a_n₊₁}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:2

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167856. （2024•西工大附中•模拟）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，M（x₀，2）为抛物线C上一点，且|MF|＝2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若以点P（t，s）为圆心，|PF|为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若2t＝s﹣1，证明：直线DE过定点．

共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:2

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166876. （2024•西安八十三中•高二上二月）已知抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣4，求证：直线AB恒过定点．

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:2

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166895. （2024•高新一中•五模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）过点P（m，2），且P到抛物线焦点的距离为2，M和N是x轴上关于原点对称的两个点，过点M倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于A，B两点，且MB⊥NB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若N为C的焦点，求证：

；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为H，若∠ABH＝2θ，求直线l的方程．

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:2

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2025-05-13

高中数学 | 高二下 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市高新一中南校区高二（下）期中数学试卷

更新:2025-05-13 04:47浏览量:8

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