在中点与点不重合为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形如果如图且点在线段上运动试判断线段与之间的位置关系并证明你的结论如果如图且点在线段上运动中结论是否成立为什么若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点设求线段的长用含的式子表示

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172490. （2024•陆港中学•九上一月）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝

，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

共享时间:2024-10-27 难度:3

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[考点]

全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．

（3）如图①，当AB＜AC时，
过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得AC＝AG，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
如图②，点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴

，
∴

．
如图③，点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∵CF⊥BD，
∴∠P+∠PDC＝90°，
∵∠PDC+∠ADQ＝90°，
∴∠ADQ＝∠P，
∵∠Q＝∠PCD＝90°，
∴△AQD∽△DCP，
∴

，
∴

．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2022-11-26 难度:2 相似度:1.67

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（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求

的值．

共享时间:2023-12-19 难度:2 相似度:1.67

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$德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:4 相似度:1.34

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共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:1.33

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174121. （2024•铁一中学•九上一月）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．

（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若

，且AE＝4，求AB的长．

共享时间:2024-10-28 难度:1 相似度:1.33

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共享时间:2024-10-10 难度:1 相似度:1.33

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