在菱形中将沿对角线折起使点至点在平面外的位置则在折叠过程中总有存在点使得当时三棱锥的外接球的表面积为当三棱锥的体积最大时

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166790. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点P（P在平面ABCD外）的位置，则（　　）

A.在折叠过程中，总有BD⊥PC

B.存在点P，使得PC＝2

C.当PC＝1时，三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为

D.当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，

共享时间:2024-10-20 难度:2

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，

[答案]

[解析]

解：如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC，

因为BE∩DE＝E，BD，DE⊂平面BDE，
所以PC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE，
所以BD⊥PC，A项正确；
在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°，所以

，
当△ABD沿对角线BD折起时，

，所以不存在点P，使得PC＝2，B项错误；
当PC＝1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，

三棱锥P﹣BCD的外接球就是该正方体的外接球，
因为正方体的各面的对角线长为1．
所以正方体的棱长为

，
设外接球的半径为R，则

，
所以三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积

，C项正确；
当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面BCD，
取BD的中点O，连接PO，OC，
易知PO⊥平面BCD，则PO⊥OC，
又

，
所以

，D项错误．
故选：AC．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168818. （2021•西工大附中•十二模）如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为3的正三角形，则三棱柱外接球的体积与内切球的体积比为（　　）

C.．

D.．

共享时间:2021-07-26 难度:2 相似度:2

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168180. （2023•西工大附中•八模）中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工．“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹．据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了．今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为（　　）

B.．6

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:2

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166355. （2024•长安区一中•高三上四月）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且AC⊥BD，OA＝1，OB＝OC＝OD＝2，剪去△COD，将△AOD沿OA翻折，△BOC沿OB翻折，使点C与点D重合于点P，则翻折后的三棱锥P﹣AOB外接球的表面积为（　　）

A.5π

B.8π

C.9π

D.13π

共享时间:2024-02-12 难度:5 相似度:1.5

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168908. （2021•高陵一中•二模）在梯形ABCD中，∠ABC＝

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.．

C.．

D.2π

共享时间:2021-03-23 难度:1 相似度:1.5

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169040. （2020•西工大附中•一模）已知圆柱的轴截面周长为12，体积为V，则下列总成立的是（　　）

A.．V≥8π

B.．V≤8π

C.．V≥π

D.V≤π

共享时间:2020-03-01 难度:1 相似度:1.5

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169091. （2020•西工大附中•三模）在底边边长为2的正四棱锥P﹣ABCD中，异面直线PC与AD所成角的正切值为3，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（　　）

C.．

D.．

共享时间:2020-04-14 难度:5 相似度:1.5

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166379. （2024•长安区一中•高二上二月）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥BC，AC＝2CB＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A.32π

B.40π

共享时间:2024-12-18 难度:5 相似度:1.5

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169557. （2024•师大附中•高二下期末）．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（　　）

A.8：5

B.．4：5

C.．2

：5

D.4：11

共享时间:2024-07-27 难度:1 相似度:1.5

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169686. （2024•西安八十五中•高一下期末）已知菱形ABCD的各边长为2，∠B＝60°．将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P﹣ACD，如图所示，当三棱锥P﹣ACD的表面积最大时，三棱锥P﹣ACD的外接球体积为（　　）

B.．

C.．2

D.．

共享时间:2024-07-08 难度:1 相似度:1.5

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169731. （2023•师大附中•高二下期末）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，AB⊥平面BCD，

，

，∠CBD＝135°，则球O的体积为（　　）

B.．

C.．

D.．

共享时间:2023-07-03 难度:1 相似度:1.5

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169753. （2023•师大附中•高二下期末）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，AB⊥平面BCD，

，

，∠CBD＝135°，则球O的体积为（　　）

共享时间:2023-07-24 难度:1 相似度:1.5

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169861. （2023•长安区一中•高一下期末）底面半径为

的圆锥侧面展开图的圆心角大小为

，则此圆锥外接球表面积为（　　）

A.16π

C.．

共享时间:2023-07-01 难度:1 相似度:1.5

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169909. （2023•长安区一中•高二下期末）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，AB⊥平面BCD，

，

，∠CBD＝135°，则球O的表面积为（　　）

A.24π

B.．20π

C.．26π

D.．28π

共享时间:2023-07-19 难度:1 相似度:1.5

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170115. （2023•铁一中学•高三上期末）在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，过点E作直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为12π，则直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁外接球的表面积为（　　）

A.100π

B.．80π

C.64π

D.．32π

共享时间:2023-02-08 难度:5 相似度:1.5

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170068. （2023•铁一中学•高一下期末）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）