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169103. (2020•西工大附中•三模) 已知函数fx)=(x﹣2)exax+alnxa∈R).
(1)当a=﹣1时,求函数fx)的单调区间;
(2)讨论fx)的零点个数.
共享时间:2020-04-14 难度:1
[考点]
利用导数求解函数的单调性和单调区间,
[答案]
(1)fx)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
(2)当a<﹣e时,函数fx)的零点个数为0;
a=﹣ea≥0时,函数fx)的零点个数为1;
当﹣ea<0时,函数fx)的零点个数为2.
[解析]
(1)解:当a=﹣1时,fx)=(x﹣2)ex+xlnx

因为x∈(0,+∞),则
所以x>1时,f'(x)>0,0<x<1时,f'(x)<0,
所以函数fx)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
fx)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
(2)因为fx)=(x﹣2)exax+alnx

i)当a<0时,因为x∈(0,+∞),则
x>1时,f'(x)>0,所以0<x<1时,f'(x)<0,
所以函数fx)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(1)=﹣ea
f(1)=﹣ea>0时,即a<﹣e时,fx)≥f(1)>0,
所以当a<﹣e时,函数fx)没有零点,即函数fx)零点个数为0;
f(1)=﹣ea=0,即a=﹣e时,fx)≥f(1)=0,
所以当a=﹣e时,函数fx)有且只有一个零点x=1,即函数fx)的零点个数为1;
f(1)=﹣ea<0,即﹣ea<0时,f(2)=﹣a(2﹣ln2)>0,
则存在一个实数x1∈(1,2),使得fx1)=0,
x∈(0,1)时,(x﹣2)ex>﹣e,﹣ax>0,对任意的x∈(0,1),
fx)>﹣e+alnx,取,因为a<0,则
,则存在,使得fx2)=0,
即﹣ea<0时,函数fx)的零点个数为2.
ii)当a=0时,令fx)=0,则(x﹣2)ex=0,则x=2,
即函数fx)有且只有一个零点x=2;
即函数fx)的零点个数为1.
iii)当a>0时,令
在(0,+∞)上单调递增,令nmax{1,a},
gn)≥e﹣1>0,则一定存在x0∈(mn),使得gx0)=0,
所以x∈(0,x0)时,gx)<0,x∈(x0,+∞)时,gx)>0.
因为
x0=1,即ae时,fx)=(x﹣2)exex+elnx
所以
所以x>1时,f'(x)>0,所以0<x<1时,f'(x)>0,
fx)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=﹣2e<0,f(3)=e3﹣3e+eln3>0,
则存在x1∈(1,3),使得fx1)=0,
所以函数fx)有且只有一个零点xx1
即函数fx)的零点个数为1.
因为
x0>1,x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,
fx)在(0,1)上单调递增,在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
当0<x0<1,x∈(0,x0)时,f'(x)>0,当x∈(x0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
fx)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为x∈(0,1]时,(x﹣2)ex<0,﹣ax<0,alnx≤0,即fx)<0,
所以fx)在x∈(0,1]时没有零点,x∈(1,+∞)上fx)至多有一个零点,
fa+2)=aea+2aa+2)+alna+2)=aea+2+lna+2)﹣(a+2)),
ta+2,ht)=et+lnttt>2),
t>2),则h'(t)>0,故ht)在t∈(2,+∞)上单调递增,
h(2)=e2+ln2﹣2>0,即fa+2)>0,
故存在一个,则存在x1∈(1,a+2),使得fx1)=0,
所以函数fx)有且只有一个零点xx1,即函数fx)的零点个数为1,
综上所述:当a<﹣e时,函数fx)的零点个数为0;
a=﹣ea≥0时,函数fx)的零点个数为1;
当﹣ea<0时,函数fx)的零点个数为2.
[点评]
本题考查了"利用导数求解函数的单调性和单调区间,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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237614. (2020•西安中学•高二下期中) 设函数fx)=(x2+3x+1)ex
(1)求函数fx)的单调区间.
(2)求函数fx)的极值.
共享时间:2020-05-11 难度:1 相似度:2
231867. (2025•曲江二中•高二下一月) 已知函数fx)=3x3﹣9x+5.
(1)求函数fx)的单调区间;
(2)求函数fx)在[﹣3,3]上的最大值和最小值.
共享时间:2025-04-15 难度:1 相似度:2
231244. (2016•西工大附中•九模) 已知函数fx)的导函数f′(x)=x2+2ax+bab≠0),且f(0)=0.设曲线yfx)在原点处的切线l1的斜率为k1,过原点的另一条切线l2的斜率为k2
(1)若k1k2=4:5,求函数fx)的单调区间;
(2)若k2tk1时,函数fx)无极值,且存在实数t使fb)<f(1﹣2t)成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2016-06-18 难度:1 相似度:2
230935. (2017•西工大附中•八模) 已知函数fx)=etx﹣1)﹣tlnx(常数t>0).
(Ⅰ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)若曲线yfx)与直线ytx相切,证明:t<2.
共享时间:2017-06-15 难度:1 相似度:2
172313. (2022•师大附中•高二下期中) 已知函数fx)=x2﹣2x+alnxa∈R).
(1)当a=﹣4时,求函数fx)的单调区间;
(2)若函数fx)有两个极值点x1x2x1x2),不等式fx1)≥mx2恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2022-05-16 难度:1 相似度:2
232111. (2024•西工大附中•高二下一月) 已知函数
(1)求函数fx)的单调区间;
(2)若存在成立,求整数a的最小值.
共享时间:2024-04-28 难度:1 相似度:2
232550. (2024•经开一中•高二下一月) 已知函数fx)=﹣x2+axlnx﹣1.
(Ⅰ)当a=3时,求函数fx)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若函数fx)在(2,4)上单调递减,求实数a的取值范围.
共享时间:2024-04-16 难度:1 相似度:2
170299. (2022•西安中学•高二上期末) 设函数
(Ⅰ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)求函数fx)的极值.
共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:2
236196. (2018•西安中学•高二下期末) 已知函数fx)=x3+ax2+bx+cx=﹣x=1时都取得极值.
(1)求ab的值;
(2)求函数fx)的单调区间.
共享时间:2018-07-08 难度:1 相似度:2
236218. (2017•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=x3+ax2+bx+cx=﹣x=1时都取得极值.
(1)求ab的值;
(2)求函数fx)的单调区间.
共享时间:2017-02-08 难度:1 相似度:2
169059. (2020•西工大附中•一模) 已知函数fx)=lnxmx2gx)=mx2+xm∈R),令Fx)=fx)+gx).
(1)当m时,求函数fx)的单调递增区间;
(2)若关于x的不等式Fx)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值.
共享时间:2020-03-01 难度:1 相似度:2
168989. (2020•西安中学•一模) a>0,函数fx)=x2﹣2ax﹣2alnx
(1)当a=1时,求函数fx)的单调区间;
(2)若函数yfx)在区间(0,+∞)上有唯一零点,试求a的值.
共享时间:2020-03-02 难度:1 相似度:2
168943. (2021•高陵一中•二模) 已知函数fx)=exax+sinx﹣1.
(Ⅰ)当a=2时,求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)当1≤a<2时,证明:函数fx)有2个零点.
共享时间:2021-03-30 难度:1 相似度:2
168805. (2021•西工大附中•十三模) 已知函数fx)=lnxx2+x
(1)求函数fx)的单调区间;
(2)证明当a≥2时,关于x的不等式恒成立;
(3)若正实数x1x2满足,证明
共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:2
168644. (2021•西安中学•二模) 已知函数fx)=exax+sinx﹣1.
(Ⅰ)当a=2时,求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)当1≤a<2时,证明:函数fx)有2个零点.
共享时间:2021-03-26 难度:1 相似度:2

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2020-04-14

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