设直线过抛物线的焦点且与抛物线分别相交于两点已知直线的倾斜角满足求抛物线的方程设是直线上的任一点过作的两条切线切点分别为试证明直线过定点并求该定点的坐标

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230865. （2017•师大附中•七模）设直线l₀过抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点且与抛物线分别相交于A₀，B₀两点，已知|A₀B₀|＝6，直线l₀的倾斜角θ满足sinθ＝

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设N是直线l：y＝x﹣4上的任一点，过N作C的两条切线，切点分别为A，B，试证明直线AB过定点，并求该定点的坐标．

共享时间:2017-06-02 难度:1

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[考点]

抛物线的焦点与准线，

[答案]

（1）x²＝4y；

（2）证明：设N（x₀，y₀）是直线l：y＝x﹣4上任意一点，过N作抛物线的切线分别为l₁，l₂，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则l₁的方程为：xx₁＝2（y+y₁） ①

l₂

的方程为：xx₂＝2（y+y₂） ②

因为l₁l₂都过N（x₀，y₀）点，所以有x₀x₁＝2（y₀+y₁），③

x₀x₂

＝2（y₀+y₂），④

③和④表示A，B两点均在直线x₀x＝2（y₀+y），

即直线AB的方程为：x₀x＝2（y₀+y），又y₀＝x₀﹣4，

所以：x₀x＝2（x₀﹣4+y），

所以直线AB的方程可化为：x₀（x﹣2）+（﹣2y+8）＝0，x₀（x﹣2）﹣2（y﹣4）＝0

即直线AB恒过（2，4）点．

[解析]

解：（1）抛物线的焦点坐标（0，

），
由直线l₀的倾斜角θ满足sinθ＝

，则l₀的斜率k＝tanθ＝

，
设直线l的方程y﹣

＝

x，即x＝

（y﹣

），设A₀（x₁，y₁），B₀（x₂，y₂）

．整理得：2y²﹣4py+

＝0，
则y₁+y₂＝2p，
由抛物线的弦长公式可知：|A₀B₀|＝y₁+y₂+p＝3p＝6，
则p＝2
抛物线C的方程为：x²＝4y；
（2）设N（x₀，y₀）是直线l：y＝x﹣4上任意一点，过N作抛物线的切线分别为l₁，l₂，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则l₁的方程为：xx₁＝2（y+y₁） ①
l₂的方程为：xx₂＝2（y+y₂） ②
因为l₁l₂都过N（x₀，y₀）点，所以有x₀x₁＝2（y₀+y₁），③
x₀x₂＝2（y₀+y₂），④
③和④表示A，B两点均在直线x₀x＝2（y₀+y），
即直线AB的方程为：x₀x＝2（y₀+y），又y₀＝x₀﹣4，
所以：x₀x＝2（x₀﹣4+y），
所以直线AB的方程可化为：x₀（x﹣2）+（﹣2y+8）＝0，x₀（x﹣2）﹣2（y﹣4）＝0
即直线AB恒过（2，4）点．

[点评]

本题考查了"抛物线的焦点与准线，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166256. （2024•师大附中•高二上二月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-12-29 难度:5 相似度:2

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169311. （2025•铁一中学•高二上期末）已知抛物线C₁：y²＝4x和C₂：x²＝2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，点P（﹣1，﹣1），且F₁F₂⊥OP（O为坐标原点）．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

共享时间:2025-02-12 难度:1 相似度:2

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237165. （2021•高新一中•高二上期中）如图，直线l：y＝x+b与抛物线C：x²＝4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

共享时间:2021-11-19 难度:1 相似度:2

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236957. （2015•铁一中学•高二上期末）．如图，已知直线l：y＝kx﹣2与抛物线C：x²＝﹣2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，

＝（﹣4，﹣12）．
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

共享时间:2015-02-21 难度:1 相似度:2

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236514. （2016•西安一中•高二上期末）已知点F为抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点，其到直线x＝﹣

的距离为2．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且横坐标为4，过点F作直线PF的垂线交直线x＝﹣

于点Q，证明：直线PQ与抛物线C只有一个交点．

共享时间:2016-03-01 难度:1 相似度:2

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236221. （2017•西安中学•高二上期末）已知抛物线的标准方程是y²＝8x，
（1）求它的焦点坐标和准线方程．
（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，并与抛物线相交于A、B两点，求弦AB的长度．

共享时间:2017-02-08 难度:1 相似度:2

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236089. （2018•西安中学•高二上期末）已知抛物线C；y²＝2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于

？若存在，求出直线l的方程，说明理由．

共享时间:2018-02-17 难度:1 相似度:2

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231444. （2016•西工大附中•六模）已知抛物线：y²＝2px（p＞0）的焦点F在双曲线：

﹣

＝1的右准线上，抛物线与直线l：y＝k（x﹣2）（k＞0）交于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若△AFB的面积等于3，求k的值；
（3）记直线CD的斜率为k_CD，证明：

为定值，并求出该定值．

共享时间:2016-05-25 难度:5 相似度:2

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230888. （2017•师大附中•七模）设直线l₀过抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点且与抛物线分别相交于A₀，B₀两点，已知|A₀B₀|＝6，直线l₀的倾斜角θ满足sinθ＝

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设N是直线l：y＝x﹣4上的任一点，过N作C的两条切线，切点分别为A，B，试证明直线AB过定点，并求该定点的坐标．

共享时间:2017-06-04 难度:1 相似度:2

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172441. （2021•西安中学•高二上期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点（4，4）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是抛物线上一动点，M点是PF的中点，求点M的轨迹方程．

共享时间:2021-11-29 难度:1 相似度:2

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166468. （2024•铁一中学•高三上三月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的方程；
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-01-29 难度:5 相似度:2

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170037. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．
（1）求抛物线C和圆M的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠2）为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）和点Q（x₃，y₃），R（x₄，y₄）．且y₁y₂y₃y₄＝16，证明：点P在一条定曲线上．