已知抛物线的顶点在原点焦点在轴上且过点求抛物线的标准方程和焦点坐标设点是抛物线上一动点点是的中点求点的轨迹方程

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172441. （2021•西安中学•高二上期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点（4，4）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是抛物线上一动点，M点是PF的中点，求点M的轨迹方程．

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[考点]

抛物线的焦点与准线，

[答案]

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[解析]

解：（Ⅰ）由抛物线焦点F在x轴上，且过点（4，4），设抛物线方程y²＝2px（p＞0）．
将点（4，4），代入抛物线方程，16＝2×4p，解得：p＝2，
∴抛物线的标准方程y²＝4x，焦点坐标（1，0）；
（Ⅱ）设M（x，y），P（x₀，y₀），F（1，0），M点是PF的中点，
则x₀+1＝2x，0+y₀＝2y，

，
P是抛物线上一动点，y₀²＝4x₀，代入（2y）²＝4（2x﹣1），
∴y²＝2x﹣1．

[点评]

本题考查了"抛物线的焦点与准线，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166256. （2024•师大附中•高二上二月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-12-29 难度:5 相似度:2

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167455. （2023•雁塔二中•高二上二月）已知抛物线C：y²＝3x的焦点为F，斜率为

的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若

＝3

，求|AB|．

共享时间:2023-12-24 难度:1 相似度:2

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170037. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．
（1）求抛物线C和圆M的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠2）为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）和点Q（x₃，y₃），R（x₄，y₄）．且y₁y₂y₃y₄＝16，证明：点P在一条定曲线上．

共享时间:2023-02-04 难度:1 相似度:2

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169311. （2025•铁一中学•高二上期末）已知抛物线C₁：y²＝4x和C₂：x²＝2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，点P（﹣1，﹣1），且F₁F₂⊥OP（O为坐标原点）．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

共享时间:2025-02-12 难度:1 相似度:2

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166468. （2024•铁一中学•高三上三月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的方程；
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-01-29 难度:5 相似度:2

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167304. （2023•长安区一中•高三上四月）已知抛物线H：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣

．
（1）求抛物线H的方程；
（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．
①求证：∠ACB≤

．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1.5

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170033. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（0＜p＜6）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P（1，2），求直线l的方程．

共享时间:2023-02-04 难度:2 相似度:1.5

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171592. （2023•西安三中•高三上期中）已知F为抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为﹣1，△OFM的面积为4．
（1）求C的方程；
（2）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:1.5

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171504. （2023•铁一中学•高二上期中）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1.5

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1.5

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171030. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1.5

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170666. （2021•长安区一中•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1.5

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170644. （2021•长安区一中•高二上期末）．已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-28 难度:2 相似度:1.5

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170060. （2023•西工大附中•高二上期末）已知抛物线x²＝2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1.5

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166644. （2024•高新一中•高三上五月）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）过点P（m，2），且P到抛物线焦点的距离为2，M和N是x轴上关于原点对称的两个点，过点M倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于A，B两点，且MB⊥NB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若N为C的焦点，求证：

；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为H，若∠ABH＝2θ，求直线l的方程．

共享时间:2024-12-26 难度:2 相似度:1.5

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2021-11-29

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2021-2022学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（文科）

更新:2021-11-29 10:06浏览量:6

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