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166683. (2024•高新一中•高二上二月) 在空间直角坐标系Oxyz中,已知向量,点P0x0y0z0).若平面α以为法向量且经过点P0,则平面α的点法式方程可表示为axx0)+byy0)+czz0)=0,一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0.
(1)若平面α1x+2y﹣1=0,平面β1:2yz+1=0,直线l为平面α1和平面β1的交线,求直线l的方向向量(写出一个即可);
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为α2、β2、γ,其中平面α2经过点A(4,0,0),点B(3,1,﹣1),点C(﹣1,5,2),平面β2y+z=4,平面γ:mx+(m+1)y+(m+2)z+3=0,求出点B到平面γ的距离;
(3)已知集合P={(xyz)||x|≤1,|y|≤1,|z|≤1},Q={(xyz)||x|+|y|+|z|≤2},记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2,求V1V2的值.
共享时间:2024-12-27 难度:3
[考点]
棱柱、棱锥、棱台的体积,平面的法向量,空间中点到平面的距离,
[答案]
(1)
(2)
(3)
[解析]
解:(1)平面α1x+2y﹣1=0的法向量为
平面β1:2yz+1=0的法向量为
设平面α1与平面β1的交线l的方向向量为
,取y=1,得
所以直线l的一个方向向量为
(2)设平面α2ax+by+cz+1=0,
由平面α2经过点A(4,0,0),点B(3,1,﹣1),点C(﹣1,5,2),
,解得,即平面α2x+y=4,
又平面β2y+z=4,平面γ:mx+(m+1)y+(m+2)z+3=0,
记平面α2、β2、γ的法向量分别为:
设平面α2、β2的交线l′的方向向量为
则由,可得,取
依题意,,解得m=﹣1,
平面γ:xz﹣3=0,其法向量为
在平面γ内取点A(3,0,0),则
故点B到平面γ的距离为
(3)集合Q的子集Q′={(xyz)|x+y+z≤2,x≥0,y≥0,z≥0},
即为三个坐标平面与x+y+z=2围成的四面体,

四面体四个顶点分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),
此四面体的体积为,由对称性知
集合P的子集P′={(xyz)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1},
P′构成的几何体是棱长为1的正方体,
Q′={(xyz)|x+y+z≤2,x≥0,y≥0,z≥0},
P′∩Q′为截去三棱锥Q4Q1Q2Q3后剩下的部分,
P′的体积VP=1×1×1=1,
三棱锥Q4Q1Q2Q3的体积为
P′∩Q′的体积为
由对称性知
[点评]
本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积,平面的法向量,空间中点到平面的距离,",属于"难典题",熟悉题型是解题的关键。
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167854. (2024•西工大附中•模拟) 如图,四棱锥PABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为棱PC上的动点且
(Ⅰ)求证:△PBC为直角三角形;
(Ⅱ)试确定λ的值,使得三棱锥PAMD的体积为

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.33
172047. (2023•铁一中学•高一下期中) 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,BCAA1=1,P为线段BC1上的动点.
(1)当P为线段BC1上的中点时,求三棱锥BPAC的体积;
(2)当P在线段BC1上移动时,求AP+CP的最小值.

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:1.33
167233. (2023•周至六中•高二上一月) 已知=(3,aab)(ab∈R)是平面β的一个法向量,=(1,2,3)是平面α的一个法向量.
(1)若α∥β,求ab的值;
(2)若α⊥β,求ab的关系式.
共享时间:2023-10-26 难度:1 相似度:1.33
172006. (2023•西工大附中•高一下期中) 如图,正三棱锥VABC是某正方体的一部分,其所有顶点都是原正方体的顶点,已知ABBCAC=2,VAVBVC,点MN分别为MABC的中点,一只蚂蚁从点M出发,沿三棱锥VABC表面爬行到点N,求:

(1)该三棱锥VABC的体积;
(2)蚂蚁爬行的最短路线长.
共享时间:2023-05-10 难度:1 相似度:1.33
167370. (2024•长安区•高二下一月) 将一条长为6的铁丝截成9段,拼成一个正三棱柱,求该三棱柱体积的最大值.
共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.33
168526. (2021•西安中学•六模) 如图三棱锥ABCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH
(1)求证:EHAB
(2)若四边形EFGH是边长为1的正方形,且点EAD的中点,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=2,AC=2,求三棱锥ABCD的体积.

共享时间:2021-05-18 难度:1 相似度:1.33
171616. (2024•交大附中•高一下期中) 在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,侧棱长为3,侧面积为
(1)求三棱锥BA1B1C的体积;
(2)若点DE分别在三棱柱的棱CC1BB1上,且CDBE,线段A1EA1DDE的延长线与平面ABC交于FGH三点,证明:FGH共线.

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.33
170078. (2023•铁一中学•高一下期末) 如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点EF分别为棱DCD1C1的中点.
(1)求证:A1F∥平面AD1E
(2)求三棱锥A1AED1的体积.

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:0.83
169169. (2020•高新一中•三模) 如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,BFDECG都垂直于平面ABCD,且CG=2BF=2ED=2.
(1)证明:AE∥平面BCF
(2)若∠DAB,求三棱锥DAEF的体积.

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:0.83
169394. (2024•西安中学•高三上期末) 如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,ADCD
(1)证明:ACBD
(2)已知△ACD是直角三角形,ABBD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

共享时间:2024-02-08 难度:2 相似度:0.83
169696. (2024•西安八十五中•高一下期末) 如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,EAA1的中点,FAE的中点.
(1)求证:CE∥平面BDF
(2)求三棱锥EBDF的体积.

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:0.83
169811. (2023•西安中学•高一下期末) 如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,EF分别为ABPC的中点.
(Ⅰ)证明:BF∥平面PDE
(Ⅱ)求三棱锥EBDF的体积.

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:0.83
169945. (2023•长安区一中•高二上期末) 如图,在四棱锥SABCD中,ABDCBCABCDSD,平面SCD⊥平面SBC
(1)求证:BC⊥平面SCD
(2)设BCCD=8,SB=16,求三棱锥SBCD的体积.

共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:0.83
261. (2014•陕西省•真题) 四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱ADBC的平面分别交四面体的棱ABBDDCCA于点EFGH
)求四面体ABCD的体积;
)证明:四边形EFGH是矩形.
                                                                                                               
 
共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:0.83
170123. (2023•铁一中学•高三上期末) 如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBCA1C与底面ABCD所成的角为45°.
(1)求四棱锥A1ABCD的体积;
(2)求异面直线A1BB1D1所成角的大小.

共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:0.83

dygzsxyn

2024-12-27

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2020*西工大*期末
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