在空间直角坐标系中已知向量点若平面以为法向量且经过点则平面的点法式方程可表示为一般式方程可表示为若平面平面直线为平面和平面的交线求直线的方向向量写出一个即可若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为其中平面经过点点点

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166683. （2024•高新一中•高二上二月）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知向量

，点P₀（x₀，y₀，z₀）．若平面α以

为法向量且经过点P₀，则平面α的点法式方程可表示为a（x﹣x₀）+b（y﹣y₀）+c（z﹣z₀）＝0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d＝0．
（1）若平面α₁：x+2y﹣1＝0，平面β₁：2y﹣z+1＝0，直线l为平面α₁和平面β₁的交线，求直线l的方向向量（写出一个即可）；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为α₂、β₂、γ，其中平面α₂经过点A（4，0，0），点B（3，1，﹣1），点C（﹣1，5，2），平面β₂：y+z＝4，平面γ：mx+（m+1）y+（m+2）z+3＝0，求出点B到平面γ的距离；
（3）已知集合P＝{（x，y，z）||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}，Q＝{（x，y，z）||x|+|y|+|z|≤2}，记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V₁，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V₂，求V₁和V₂的值．

共享时间:2024-12-27 难度:3

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，平面的法向量，空间中点到平面的距离，

[校正]

[答案]

（1）

；

（2）

；

（3）

，

．

[解析]

解：（1）平面α₁：x+2y﹣1＝0的法向量为

，
平面β₁：2y﹣z+1＝0的法向量为

，
设平面α₁与平面β₁的交线l的方向向量为

，
则

，取y＝1，得

，
所以直线l的一个方向向量为

；
（2）设平面α₂：ax+by+cz+1＝0，
由平面α₂经过点A（4，0，0），点B（3，1，﹣1），点C（﹣1，5，2），
得

，解得

，即平面α₂：x+y＝4，
又平面β₂：y+z＝4，平面γ：mx+（m+1）y+（m+2）z+3＝0，
记平面α₂、β₂、γ的法向量分别为：

，
设平面α₂、β₂的交线l′的方向向量为

，
则由

，

，可得

，取

，
依题意，

，解得m＝﹣1，
平面γ：x﹣z﹣3＝0，其法向量为

，
在平面γ内取点A（3，0，0），则

，
故点B到平面γ的距离为

；
（3）集合Q的子集Q′＝{（x，y，z）|x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}，
即为三个坐标平面与x+y+z＝2围成的四面体，

四面体四个顶点分别为（0，0，0），（2，0，0），（0，2，0），（0，0，2），
此四面体的体积为

，由对称性知

；
集合P的子集P′＝{（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，
P′构成的几何体是棱长为1的正方体，
而Q′＝{（x，y，z）|x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}，
则P′∩Q′为截去三棱锥Q₄﹣Q₁Q₂Q₃后剩下的部分，
P′的体积V_P_′＝1×1×1＝1，
三棱锥Q₄﹣Q₁Q₂Q₃的体积为

，
P′∩Q′的体积为

，
由对称性知

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，平面的法向量，空间中点到平面的距离，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

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．

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