如图在平面直角坐标系中已知直线与轴交于点与轴交于点过两点的抛物线与轴交于另一点求抛物线的解析式在抛物线上是否存在一点使若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由点为直线下方抛物线上一点点为轴上一点当的面积最大时求的最小值

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66. （2020•达州市•真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝

x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB＝S_△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+

ON的最小值．

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[考点]

抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，二次函数的应用题，二次函数综合应用，

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[解析]

解：（1）∵直线y＝

x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a＝

，
∴抛物线解析式为：y＝

（x+1）（x﹣4）＝

x²﹣

x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S_△PAB＝S_△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝

x，
联立方程组可得

，
解得：

或

，
∴点P（2+2

，1+

）或（2﹣2

，1﹣

）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S_△AP''B＝S_△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y＝

x﹣4，
联立方程组可得

，
解得

，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2

，1+

）或（2﹣2

，1﹣

）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，

m²﹣

m﹣2），则点F（m，

m﹣2），
∴MF＝

m﹣2﹣（

m²﹣

m﹣2）＝﹣

（m﹣2）²+2，
∴△MAB的面积＝

×4×[﹣

（m﹣2）²+2]＝﹣（m﹣2）²+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝

ON，
∴MN+

ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+

ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝

x，
当x＝2时，点Q（2，2

），
∴QM＝2

+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝

QM＝

，
∴MN+

ON的最小值为

．

[点评]

本题考查了"二次函数图象与几何变待定系数法求二次函数抛物线与x轴的交点二次函数的应用题二次函数综合应用 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

72. （2020•宿迁市•真题）二次函数y＝ax²+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.5

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70. （2019•榆林市•期末）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.5

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79. （2020•鄂尔多斯市•真题）如图1，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

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1000. （2018•陕西省•真题）已知抛物线L：y=x²+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

共享时间:2018-07-02 难度:4 相似度:1.5

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288180. （2018•铁一中学•一模）已知，如图，二次函数y＝ax²+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A的右侧）

对称．过点B作直线BK∥AH交直线l于K点．
（1）A坐标为　　；B坐标为　　；
（2）求二次函数解析式；
（3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N

共享时间:2018-03-05 难度:2 相似度:1.5

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211722. （2025•碑林区•八模） $德优题库$ 某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且OB=2m.如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为4m.以过点O并垂直于地面的直线为y轴，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,喷泉在y轴两侧的水流最高点C与C'之间的距离为3m,喷泉水流近似抛物线．
（1）求点C所在抛物线的函数表达式．
（2）现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为1m,花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持0.5m,则花架的最大高度为多少？

共享时间:2025-06-11 难度:1 相似度:1.25

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212397. （2025•交大附中•一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L₁，L₂，L₃均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
已知：桥洞L₁的最大高度OC为8米，跨度AB=32米，桥洞L₂，L₃关于y轴对称，且最大高度均为4米．
（1）求桥洞L₁所在抛物线的函数表达式；
（2）如图所示，现需要在桥洞L₂，L₃上安装两盏靠近y轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离PQ的长度．
$德优题库$

共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.25

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212549. （2025•西安八十五中•三模）如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线MPN和矩形MEFN构成．矩形的长MN是8dm,宽ME是2dm,抛物线的顶点P在MN的垂直平分线上，且到MN的距离为4dm.以MN中点O为原点，MN、OP分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案：
方案一：如图1，矩形ABCD的面积记为S₁，点A、D在抛物线上，点B、C在EF上，AD=4dm；
方案二：如图2，矩形A′B′C′D′的面积记为S₂，点A′、D′在抛物线上，点B′、C′在EF上，A′B′=4dm.请你根据以上信息，解答下列问题：
$德优题库$
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）分别求出S₁、S₂，并比较S₁、S₂的大小．

共享时间:2025-04-08 难度:1 相似度:1.25

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62. （2017•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与直线BC交于点N（x₃，y₃），若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.25

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274045. （2024•师大附中•九模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
$德优题库$
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB．

共享时间:2024-06-16 难度:1 相似度:1.25

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359. （2012•红星高中•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:1.25

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440. （2016•陕西省•副题）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:1.25

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.25

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509. （2018•陕西省•副题））已知抛物线L：y＝mx²﹣8x+3m与x轴相交于A和B（﹣1，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A、B在L′上的对应点分别为A′、B′
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:1.25

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亦世凡华

2021-01-06

初中数学 | | 解答题

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二次函数压轴题型采集卷

更新:2020-12-28 11:10浏览量:2534

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