设函数当为自然对数的底数时求的极小值讨论函数零点的个数若对任意恒成立求的取值范围

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278. （2014•陕西省•真题）设函数f（x）=lnx+

，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣

零点的个数；
（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，

＜1恒成立，求m的取值范围．

共享时间:2014-07-07 难度:5

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[考点]

函数恒成立问题，函数的零点，利用导数研究函数的极值，

[答案]

答案如下

[解析]

解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+

，
∴f′（x）=

；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；
∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+

=2；

（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣

﹣

（x＞0），
令g（x）=0，得m=﹣

x³+x（x＞0）；
设φ（x）=﹣

x³+x（x＞0），
∴φ′（x）=﹣x²+1=﹣（x﹣1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=

；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；
可知：①当m＞

时，函数g（x）无零点；
②当m=

时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜

时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当m＞

时，函数g（x）无零点；
当m=

或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜

时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，

＜1恒成立，
等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+

﹣x（x＞0），
则h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=

﹣

﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥﹣x²+x=﹣

（x＞0），
∴m≥

；
对于m=

，h′（x）=0仅在x=

时成立；
∴m的取值范围是[

，+∞）．

[点评]

本题考查了"函数恒成立问题函数的零点利用导数研究函数的极值 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.33

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（3）对于满足a＜b的任意实数a和b，y＝f（x）在区间（a，b]上都有性质P，且对于任意k∈Z，当x∈（k，k+1）时，均满足