如图四面体中为的中点证明平面平面设点在上当的面积最小时求三棱锥的体积

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259347. （2022•陕西省•真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．

共享时间:2022-06-20 难度:2

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[考点]

平面与平面垂直，几何法求解直线与平面所成的角，

[校正]

[答案]

（1）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，

∴△ADB≌△CDB，

∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．

∴AC⊥BE，

∵AD＝CD，E为AC的中点．

∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，

∴AC⊥平面BED，

又∵AC⊂平面ACD，

∴平面BED⊥平面ACD；

（2）

．

[解析]

证明：（1）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．
∴AC⊥BE，
∵AD＝CD，E为AC的中点．
∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面BED，
又∵AC⊂平面ACD，
∴平面BED⊥平面ACD；
解：（2）由（1）可知AB＝BC，
∴AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，边长为2，
∴BE＝

，AC＝2，AD＝CD＝

，DE＝1，
∵DE²+BE²＝BD²，∴DE⊥BE，
又∵DE⊥AC，AC∩BE＝E，
∴DE⊥平面ABC，
由（1）知△ADB≌△CDB，∴AF＝CF，连接EF，则EF⊥AC，
∴S_△AFC＝

＝EF，
∴当EF⊥BD时，EF最短，此时△AFC的面积最小，
过点F作FG⊥BE于点G，则FG∥DE，∴FG⊥平面ABC，
∵EF＝

＝

，
∴BF＝

＝

，∴FG＝

＝

，
∴三棱锥F﹣ABC的体积V＝

＝

．

[点评]

本题考查了"平面与平面垂直，几何法求解直线与平面所成的角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

258731. （2022•陕西省•真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．

共享时间:2022-06-10 难度:2 相似度:2

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166857. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA₁＝

．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（3）在棱BB₁上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5

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231887. （2025•高新一中•高二下一月）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2025-04-14 难度:1 相似度:1.5

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171461. （2023•长安区一中•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝4，∠BCD＝60°，PB⊥AD．
（1）求证：平面PBD⊥平面ABCD；
（2）若PB＝PD，点F是PC中点，且四棱锥F﹣ABCD的体积为

，求平面DBF与平面PAD的夹角的余弦值．

共享时间:2023-11-29 难度:2 相似度:1

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231170. （2016•西工大附中•二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，已知BD＝2AD＝2PD＝8，AB＝2DC＝4

．
（1）设M是PC上一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若M是PC的中点，求棱锥P﹣DMB的体积．

共享时间:2016-03-22 难度:2 相似度:1

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231098. （2016•西安一中•一模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．

共享时间:2016-03-14 难度:2 相似度:1

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172337. （2021•西安中学•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角

，求a的取值范围．

共享时间:2021-11-26 难度:2 相似度:1

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172270. （2022•师大附中•高一下期中）如图，长方体ABCD﹣A&₁B₁C₁D₁，AB＝AD＝1，AA₁＝2，点P为DD₁的中点．
求证：（1）直线BD₁∥平面PAC；
（2）平面BDD₁⊥平面PAC．

共享时间:2022-05-17 难度:2 相似度:1

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171982. （2023•唐南中学•高一下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．

共享时间:2023-05-27 难度:2 相似度:1

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171503. （2023•铁一中学•高二上期中）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是

．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1

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236972. （2015•高新一中•高二上期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．

共享时间:2015-02-23 难度:2 相似度:1

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231266. （2016•西工大附中•五模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V₁、V₂，求V₁：V₂的值．

共享时间:2016-05-11 难度:2 相似度:1

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170730. （2020•西安中学•高一上期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝

，AB＝BC＝

AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁﹣BCDE的体积为36

，求a的值．

共享时间:2020-02-05 难度:2 相似度:1

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170596. （2021•西安中学•高二上期末）如图1，在△MBC中，BM＝2BC＝4，BM⊥BC，A，D别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使∠PAB＝90°，如图2，连结PB，PC．

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）线段PC上是否存在一点E，使二面角E﹣AD﹣P的余弦值为

？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:1

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170418. （2022•长安区一中•高二上期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2AD，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点B到平面PDE的距离．

共享时间:2022-02-04 难度:2 相似度:1

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2022-06-20

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2022年陕西省高考数学试卷（文科）（乙卷）

更新:2022-06-20 05:52浏览量:59

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