如图已知在四边形中且点分别为上两个动点且试猜想线段之间的关系并证明你的结论求出在点运动的过程中周长的最小值在点运动的过程中的面积是否存在最大值如果存在请你求出面积的最大值如果不存在请说明理由

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25375. （2021•滨河中学•八下期中）如图，已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，且∠ABC=120°，点E、F分别为AD、CD上两个动点，且∠EBF=60°．
（1）试猜想线段BE、BF之间的关系，并证明你的结论．
（2）求出在点E、F运动的过程中△DEF周长的最小值．
（3）在点E、F运动的过程中△DEF的面积是否存在最大值，如果存在，请你求出△DEF面积的最大值，如果不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-05-30 难度:5

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[考点]

垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，四边形综合题，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）结论：BE=BF．
理由：如图1中，连接BD．
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∵AB=BC=CD=AD=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BA=BD，∠ABD=∠EBF=60°，
∵∠BAE=∠BDF=60°，
∴△BAE≌△BDF，
∴BE=BF．

（2）∵BE=BF，∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴BE=BF=EF，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的值最小，此时BE=AB•sin60°=2

∴△DEF周长的最小值为4+2

．
（3）∵△ABE≌△DBF，
∴S△ABE=S△DBF，
∴S四边形BEDF=S△ABD=定值=4

，
∴S△DEF=S四边形BEDF-S△BEF=4

-S△BEF，
∴当EF的值最小时，△BEF的面积最小，此时△DEF的面积最大，
∴△DEF的面积的最大值=4

•

．

[点评]

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.4

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.4

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61390. （2023•爱知中学•七上期末）如图，已知△ABC中，∠B=90°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且CE=DE．
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（1）如图①，如果AB=6，BC=3，那么平移的距离等于；（请直接写出答案）
（2）如图②，将△DEF绕着点E逆时针旋转90°得到△CEG，连接AG，如果AB=a,BC=b,求△ACG的面积；
（3）如图③，在（2）题的条件下，分别以AB，BC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S₁，S₂，且满足S₁-S₂=16，如果平移的距离等于8，求出△ACG的面积．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.2

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45255. （2024•汇知中学•七下一月）如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
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共享时间:2024-04-25 难度:3 相似度:1.2

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27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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25992. （2024•铁一中学•四模） $德优题库$ 如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，请用尺规作图法，在射线AD上找一点E，使得∠AEC=60°．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-03-12 难度:2 相似度:1.2

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25804. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.2

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.2

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20179. （2021•西工大附中•五模）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

共享时间:2021-06-03 难度:3 相似度:1.2

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.2

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.2

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.2

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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共享时间:2022-05-25 难度:3 相似度:1.2

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23090. （2021•高新一中•九上期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC，BD的长度分别为40cm，30cm及夹角∠BEC=60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？
建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．
（1）如图1，△ABC中，D为AB上任意一点（不与A，B两点重合），连接CD，CD=a，AB=b，∠ADC=α（α为CD与AB所夹的锐角），则△ABC的面积为．（用a，b，α表示）
问题解决：请你解决工作人员的问题．
（2）如图2，四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC=40cm，BD=30cm，∠BEC=60°，求四边形ABCD的面积．（写出必要的解答过程）
新建模型：
（3）若四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠BEC=α（α为AC与BD所夹的锐角），直接写出四边形ABCD的面积为．（用a，b，α表示）
模型应用：
（4）如图3，四边形ABCD中，AD+BC=AB，∠BAD=∠ABC=60°．已知BD=a，求四边形ABCD的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）
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