已知抛物线的顶点为坐标原点对称轴为轴且抛物线经过点求点到抛物线的焦点的距离若过点的直线与抛物线交于两点证明以线段为直径的圆必过定点

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237294. （2020•西安一中•高二上期中）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，且抛物线C经过点A（4，6）．
（1）求点A到抛物线C的焦点F的距离；
（2）若过点（9，0）的直线l与抛物线C交于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆必过定点．

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[考点]

抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，

[答案]

（1）

；

（2）证明如上解析．

[解析]

解：设C的方程为y²＝2px（p＞0），
将点A的坐标代入方程得6²＝2p•4，即

，
此时A到C的焦点的距离为

，
（2）证明：由（1）可知，当C的对称轴为x轴时，C的方程为y²＝9x．
直线l斜率显然不为0，可设直线l的方程为x＝my+9，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀）．
由

，得y²﹣9my﹣81＝0，则y₁+y₂＝9m，y₁y₂＝﹣81，
所以

，

，
且

．
以线段MN为直径的圆的方程为

即x²﹣9（m²+2）x+y²﹣9my＝0，
即x²﹣18x+y²﹣9m（mx+y）＝0，令mx+y＝0，则x²﹣18x+y²＝0，
因为m∈R．所以圆x²﹣18x+y²﹣9m（mx+y）＝0过定点（0，0），
从而以线段MN为直径的圆过定点．

[点评]

本题考查了"抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169011. （2020•西安中学•一模）从抛物线C：x²＝2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x₀，2）在抛物线C上，且|MF|＝3（F为抛物线的焦点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）①求证：四边形PCQD是平行四边形．
②四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:2

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168597. （2021•西安中学•九模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：mx+y﹣

＝0经过抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-23 难度:2 相似度:2

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169171. （2020•高新一中•三模）已知点O（0，0）、点P（﹣4，0）及抛物线C：y²＝4x．
（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；
（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:2

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172093. （2023•铁一中学•高二下期中）已知F为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知P（x₀，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k_PM•k_PN＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:2

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168345. （2022•长安区一中•三模）设抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：

交于点M．当|FD|＝2时，∠AFD＝60°．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l₂，与直线l₁交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x₁的值．

共享时间:2022-04-07 难度:2 相似度:2

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168667. （2021•西安中学•仿真）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线

经过抛物线的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:2

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167718. （2024•西安一中•五模）已知抛物线的方程为y²＝2px，直线x＝﹣1为抛物线的准线，点P（1，2），且A，B为抛物线上的不同两点，若有PA与PB垂直．
（1）求抛物线的方程．
（2）证明：直线AB过定点．

共享时间:2024-05-13 难度:3 相似度:1.67

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170302. （2022•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.5

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170148. （2023•铁一中学•高二下期末）已知曲线C上任意一点M满足|MF₁|﹣|MF₂|＝2，且F₁（﹣2，0），F₂（2，0）．
（1）求C的方程；
（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F₂（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：点R在定直线上．

共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:1.5

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170793. （2020•西安中学•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:1.5

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169395. （2024•西安中学•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.5

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169216. （2025•师大附中•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.5

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171481. （2023•西工大附中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y²＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.5

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170593. （2021•西安中学•高二上期末）（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为

的双曲线的标准方程；
（2）求经过点P（﹣2，﹣4）的抛物线的标准方程．

共享时间:2021-02-14 难度:5 相似度:1.5

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236110. （2018•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|＝3．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线C与直线l：y＝kx+1交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有k_PM+k_PN＝0？说明理由．

共享时间:2018-02-04 难度:1 相似度:1.5

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2020-11-15

高中数学 | 高二上 | 解答题

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2020-2021学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（文科）

更新:2020-11-15 10:18浏览量:8

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