如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形侧面底面是的中点求证平面求侧面与底面所成二面角的余弦值在棱上是否存在点使平面平面成立如果存在求出如果不存在说明理由

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232895. （2024•交大附中•高一下二月）如图，在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
（1）求证：AM⊥平面QCD；
（2）求侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在棱QC上是否存在点N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出

，如果不存在，说明理由．

共享时间:2024-06-19 难度:3

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[考点]

直线与平面垂直，平面与平面垂直，二面角的平面角及求法，

[答案]

（1）证明见解答；（2）

；（3）当

＝

时，平面BDN⊥平面AMC．

[解析]

（1）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又侧面QAD⊥底面ABCD，侧面QAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面QAD，又AM⊂平面QAD，
所以CD⊥AM，
因为△QAD是正三角形，M是QD的中点，则AM⊥QD，
又CD∩QD＝D，CD，PD⊂平面QCD，
所以AM⊥平面QCD；
（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，QE，QF，
则EF＝CD，EF∥CD，所以EF⊥AD，
在正△QAD中，QE⊥AD，
因为EF∩QE＝E，EF，QE⊂平面QEF，
则AD⊥平面QEF，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
故BC⊥平面QEF，
所以∠QFE是侧面QBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
由CD⊥平面QAD，EF∥CD，
则EF⊥平面QEF，又PE⊂平面QAD，
所以EF⊥QE，
设正方形ABCD的边长AD＝2a，则EF＝2a，QE＝

a，
所以QF＝

＝

a，
则cos∠QFE＝

＝

，
故侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为

．
（3）解：当

＝

时，平面BDN⊥平面AMC．
由正方形ABCD可得AC⊥BD．
又CD⊥AD，平面QAD⊥平面ABCD，可得CD⊥平面QAD，
即有CD⊥QD，
所以QC＝

a．
连接ON，在△QAC中，cos∠QCA＝

＝

，
则ON＝

＝

a，
由ON²+OC²＝CN²，可得ON⊥AC，
又ON∩BD＝O，所以AC⊥平面BDN，而AC⊂平面AMC，
所以平面BDN⊥平面AMC．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，平面与平面垂直，二面角的平面角及求法，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167988. （2023•师大附中•十一模）如图，AB，CD分别是圆台上、下底面的直径，且AB∥CD，点E（异于D，C两点）是下底面圆周上一点，AB＝2

，圆台的高为

．
（1）证明：不存在点E使平面AEC⊥平面ADE；
（2）若DE＝CE＝4，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．

共享时间:2023-07-16 难度:2 相似度:1.67

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167670. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，直线C₁B⊥平面ABC，平面AA₁ C₁C⊥平面BB₁C₁C．
（1）求证：AC⊥BB₁；
（2）若AC＝BC＝BC₁＝2，在棱A₁B₁上是否存在一点P，使二面角P﹣BC﹣C₁的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:1.67

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167349. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:1.67

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166835. （2024•西安八十五中•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，

．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．

共享时间:2024-03-12 难度:2 相似度:1.67

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166799. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A₁A＝A₁B₁＝2，侧棱A₁A⊥平面ABC，点D是棱CC₁的中点．
（1）证明：BB₁⊥平面AB₁C；
（2）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.67

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167238. （2023•周至六中•高二上一月）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的侧面A₁ADD₁是正方形．
（1）证明：A₁D⊥平面ABD₁；
（2）若AD＝2，AB＝4，求二面角B₁﹣AD₁﹣C的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:1.67

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166367. （2024•长安区一中•高三上四月）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD₁⊥CD．点M为CD₁的中点，且CD₁＝2BM．
（1）证明：平面BDM⊥平面BCD₁；
（2）若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为﹣

，当BD₁＞BD时，求BD₁的长．

共享时间:2024-02-12 难度:2 相似度:1.67

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22111. （2021•西安中学•二模） $德优题库$ 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB=∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D-AA₁-C的正弦值．

共享时间:2021-03-18 难度:3 相似度:1.67

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167940. （2023•师大附中•三模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67

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167830. （2024•长安区一中•一模）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-04 难度:3 相似度:1.34

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
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