已知函数求函数的定义域并证明是定义域上的奇函数用定义证明在定义域上是增函数求不等式的解集

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232784. （2023•唐南中学•高一上二月）已知函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域，并证明f（x）是定义域上的奇函数；
（2）用定义证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）求不等式f（2x﹣5）+f（2﹣x）＜0的解集．

共享时间:2023-12-18 难度:2

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[考点]

对数函数的定义域，求对数函数及对数型复合函数的单调性，

[答案]

（1）定义域为（﹣1，1），证明见解析；（2）证明见解析；

（3）{x|2＜x＜3}．

[解析]

解：（1）由

得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．
又因为f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣f（x），
所以f（x）是定义域上的奇函数．
（2）证明：设任意﹣1＜x₁＜x₂＜1，

，
因为﹣1＜x₁＜x₂＜1，所以0＜1+x₁＜1+x₂，0＜1﹣x₂＜1﹣x₁，
于是

，

，
则

，所以

．
所以f（x₁）﹣f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），故函数f（x）是（﹣1，1）上的增函数．
（3）因为f（x）在（﹣1，1）上是增函数且为奇函数，
所以不等式f（2x﹣5）+f（2﹣x）＜0可转化为f（2x﹣5）＜﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2），
则

，解得2＜x＜3，
所以不等式的解集为{x|2＜x＜3}．

[点评]

本题考查了"对数函数的定义域，求对数函数及对数型复合函数的单调性，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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166917. （2023•师大附中•高一上二月）已知函数

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．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若正实数x₁，x₂满足x₁＜x₂，x₁x₂＝1，求证：f（x₁）＞f（x₂）．

共享时间:2023-12-16 难度:1 相似度:1.5

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232068. （2023•西工大附中•高一上二月）已知函数

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在（3m﹣2，m+2）上单调递增，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-12-17 难度:1 相似度:1.5

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169459. （2024•长安区一中•高一上期末）已知集合A＝{x|x²﹣6x＜﹣5}，B＝{x|1＜2^x^﹣2≤16}，集合C为函数f（x）＝lg[（2a﹣x）（x﹣a﹣1）]的定义域，全集为实数集R．
（1）求A∪B，∁_RA；
（2）若A∩C＝C，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-02-14 难度:3 相似度:0.83

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2023-12-18

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