已知函数其中且求的值求的单调区间若正实数满足求证

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166917. （2023•师大附中•高一上二月）已知函数

（其中a＞2），且f（1）＝e+1，

．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若正实数x₁，x₂满足x₁＜x₂，x₁x₂＝1，求证：f（x₁）＞f（x₂）．

共享时间:2023-12-16 难度:1

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组卷

[考点]

求对数函数及对数型复合函数的单调性，

[答案]

（1）a＝e，b＝1；
（2）f（x）单调递减区间为（0，e），单调递增区间为（e，+∞）；
（3）证明见解析．

[解析]

解：（1）因为a＞2，所以a＞2ln2，
所以

，
解得

；
（2）由（1）知，

，定义域为（0，+∞），
令

，（0，+∞），
因为y＝lnx与

在（0，+∞）上单调递增，
所以

在（0，+∞）上单调递增，
又

，
所以当x＞e时，g（x）＞g（e）＝0，则

单调递增，
当0＜x＜e时，g（x）＜g（e）＝0，则

单调递减，
所以f（x）单调递减区间为（0，e），单调递增区间为（e，+∞）；
（3）证明：因为x₂＞x₁＞0，x₁x₂＝1，
所以

，x₂＞1，
所以

，

，
又当x₂＞1时，

，
所以f（x₁）＞f（x₂），故原命题得证．

[点评]

本题考查了"求对数函数及对数型复合函数的单调性，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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2023-12-16

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