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231519. (2015•西安中学•一模) 设函数fx)=x3+ax2a2x+ma>0)
(1)若函数fx)在x∈[﹣1,1]内没有极值点,求实数a的取值范围;
(2)a=1时函数fx)有三个互不相同的零点,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的a∈[3,6],不等式fx)≤1在x∈[﹣2,2]上恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2015-03-05 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的最值,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
解:(1)∵fx)=x3+ax2a2x+ma>0),∴f′(x)=3x2+2axa2
fx)在x∈[﹣1,1]内没有极值点,∴方程f′(x)=3x2+2axa2=0在[﹣1,1]上没有实数根,
由Δ=4a2﹣12×(﹣a2)=16a2>0,二次函数对称轴x=﹣<0,
f′(x)=0时,即(3xa)(x+a)=0,解得x=﹣ax
,或≤﹣1(a≤﹣3不合题意,舍去),解得a≥3,
a的取值范围是{a|a≥3};
(2)当a=1时,fx)=x3+x2x+m
fx)有三个互不相同的零点,
fx)=x3+x2x+m=0,即m=﹣x3x2+x有三个互不相同的实数根.
gx)=﹣x3x2+x,则g′(x)=﹣(3x﹣1)(x+1)
g′(x)>0,解得﹣1<x;令g′(x)<0,解得x<﹣1或x
gx)在(﹣∞,﹣1)和( ,+∞)上为减函数,在(﹣1,)上为增函数,
gx极小g(﹣1)=﹣1,gx极大g)=
m的取值范围是(﹣1, );
(3)∵f′(x)=0时,x=﹣ax
a∈[3,6]时,∈[1,2],﹣a∈[﹣6,﹣3];
x∈[﹣2,2],∴f′(x)在[﹣2,)上小于0,fx)是减函数;
f′(x)在(,2]上大于0,fx)是增函数;
fxmaxmax{f(﹣2),f(2)},
f(2)﹣f(﹣2)=16﹣4a2<0,
fxmaxf(﹣2)=﹣8+4a+2a2+m
又∵fx)≤1在[﹣2,2]上恒成立,
fxmax≤1,即﹣8+4a+2a2+m≤1,
m≤9﹣4a﹣2a2,在a∈[3,6]上恒成立
∵9﹣4a﹣2a2a∈[3,6]上是减函数,最小值为﹣87
m≤﹣87,
m的取值范围是{m|m≤﹣87}.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的最值,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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考点说明
灰色代表去掉的考点,绿色代表未变动的考点,红色代表新增的考点
230958. (2017•西工大附中•六模) 已知函数fx)=(x﹣1)ex
(1)求fx)的极值;
(2)当时,求证:∀x>0,fx)>lnxm
共享时间:2017-05-26 难度:2 相似度:2
168666. (2021•西安中学•仿真) 已知函数
(1)当a=﹣2时,求函数fx)的极值;
(2)若fx)>xx2在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:2
168174. (2023•西工大附中•八模) 已知函数fx)=kx﹣1)exx2k∈R).
(1)当k=1时,求函数fx)的单调区间;
(2)若函数fx)有两个极值点,且极小值大于﹣5,求实数k的取值范围.
共享时间:2023-06-15 难度:2 相似度:2
167966. (2023•师大附中•十一模) 已知函数fx)=4lnxax+a≥0).
(1)当a,求fx)的极值.
(2)当a≥1时,设gx)=2ex﹣4x+2a,若存在x1x2∈[,2],使fx1)>gx2),求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数,e=2.71828…)
共享时间:2023-07-18 难度:2 相似度:2
167351. (2023•长安区一中•高三上二月) 已知函数fx)=ax+x2lnx
(1)证明:当a≤0时,函数fx)有唯一的极值点;
(2)设a为正整数,若不等式fx)<ex在(0,+∞)内恒成立,求a的最大值.
共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:2
167192. (2023•周至四中•一模) 已知函数fx)=lnxax
(1)当a=2,求fx)的极值;
(2)若fx)≤﹣eax恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:2
168896. (2021•高新一中•二模) 已知a∈R,函数fx)=lnxax﹣1).
(Ⅰ)若a,求函数y=|fx)|的极值点;
(Ⅱ)若不等式fx)≤﹣恒成立,求a的取值范围.(e为自然对数的底数)
共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:2
169947. (2023•长安区一中•高二上期末) 已知函数有两个不同的极值点x1x2
(1)求a的取值范围.
(2)求fx)的极大值与极小值之和的取值范围.
(3)若,则fm)﹣fn)是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,说明理由.
共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:2
169971. (2023•长安区一中•高二上期末) 已知函数有两个不同的极值点x1x2
(1)求a的取值范围.
(2)求fx)的极大值与极小值之和的取值范围.
(3)若,则fm)﹣fn)是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,说明理由.
共享时间:2023-02-13 难度:2 相似度:2
170796. (2020•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=xalnxgx)=﹣a>0)
(1)若al,求fx)的极值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得fx0)<gx0)成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2020-02-24 难度:2 相似度:2
171593. (2023•西安三中•高三上期中) 已知函数fx)=aexx+lna﹣2.
(Ⅰ)若x=0是fx)的一个极值点,求fx)的最小值;
(Ⅱ)若函数gx)=fx)+xlnx+2)有两个零点,求a的取值范围.
共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:2
172095. (2023•铁一中学•高二下期中) 已知函数fx)=exx2+3x+3)﹣mx2+2x﹣3)(e≈2.71828是自然对数的底数),若函数fx)有3个极值点x1x2x3,(x1x2x3).
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:2
231268. (2016•西工大附中•五模) 已知函数fx)=ln(1+ax)﹣a>0).
(1)当a时,求fx)的极值;
(2)若afx)存在两个极值点x1x2,试比较fx1)+fx2)与f(0)的大小;
(3)证明:n!(n≥2,n∈N).
共享时间:2016-05-11 难度:2 相似度:2
231292. (2016•西工大附中•五模) 已知函数fx)=ln(1+ax)﹣a>0).
(1)当a时,求fx)的极值;
(2)若afx)存在两个极值点x1x2,试比较fx1)+fx2)与f(0)的大小;
(3)证明:n!(n≥2,n∈N).
共享时间:2016-05-04 难度:2 相似度:2
231868. (2025•曲江二中•高二下一月) 已知函数fx)=x3+ax2+bx+cx=﹣x=1时都取得极值.求:
(1)求ab的值;
(2)若对x∈[﹣1,2],有fx)<c2恒成立,求c的取值范围.
共享时间:2025-04-15 难度:2 相似度:2

dygzsxyn

2015-03-05

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2020*西工大*期末
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