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231519. (2015•西安中学•一模) 设函数fx)=x3+ax2a2x+ma>0)
(1)若函数fx)在x∈[﹣1,1]内没有极值点,求实数a的取值范围;
(2)a=1时函数fx)有三个互不相同的零点,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的a∈[3,6],不等式fx)≤1在x∈[﹣2,2]上恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2015-03-05 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的最值,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
解:(1)∵fx)=x3+ax2a2x+ma>0),∴f′(x)=3x2+2axa2
fx)在x∈[﹣1,1]内没有极值点,∴方程f′(x)=3x2+2axa2=0在[﹣1,1]上没有实数根,
由Δ=4a2﹣12×(﹣a2)=16a2>0,二次函数对称轴x=﹣<0,
f′(x)=0时,即(3xa)(x+a)=0,解得x=﹣ax
,或≤﹣1(a≤﹣3不合题意,舍去),解得a≥3,
a的取值范围是{a|a≥3};
(2)当a=1时,fx)=x3+x2x+m
fx)有三个互不相同的零点,
fx)=x3+x2x+m=0,即m=﹣x3x2+x有三个互不相同的实数根.
gx)=﹣x3x2+x,则g′(x)=﹣(3x﹣1)(x+1)
g′(x)>0,解得﹣1<x;令g′(x)<0,解得x<﹣1或x
gx)在(﹣∞,﹣1)和( ,+∞)上为减函数,在(﹣1,)上为增函数,
gx极小g(﹣1)=﹣1,gx极大g)=
m的取值范围是(﹣1, );
(3)∵f′(x)=0时,x=﹣ax
a∈[3,6]时,∈[1,2],﹣a∈[﹣6,﹣3];
x∈[﹣2,2],∴f′(x)在[﹣2,)上小于0,fx)是减函数;
f′(x)在(,2]上大于0,fx)是增函数;
fxmaxmax{f(﹣2),f(2)},
f(2)﹣f(﹣2)=16﹣4a2<0,
fxmaxf(﹣2)=﹣8+4a+2a2+m
又∵fx)≤1在[﹣2,2]上恒成立,
fxmax≤1,即﹣8+4a+2a2+m≤1,
m≤9﹣4a﹣2a2,在a∈[3,6]上恒成立
∵9﹣4a﹣2a2a∈[3,6]上是减函数,最小值为﹣87
m≤﹣87,
m的取值范围是{m|m≤﹣87}.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的最值,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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167351. (2023•长安区一中•高三上二月) 已知函数fx)=ax+x2lnx
(1)证明:当a≤0时,函数fx)有唯一的极值点;
(2)设a为正整数,若不等式fx)<ex在(0,+∞)内恒成立,求a的最大值.
共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:2
168299. (2022•西工大附中•一模) 已知函数fx)=ax+x2lnx
(1)证明:当a≤0时,函数fx)有唯一的极值点;
(2)设a为正整数,若不等式fx)<ex在(0,+∞)内恒成立,求a的最大值.
共享时间:2022-03-12 难度:2 相似度:2
168174. (2023•西工大附中•八模) 已知函数fx)=kx﹣1)exx2k∈R).
(1)当k=1时,求函数fx)的单调区间;
(2)若函数fx)有两个极值点,且极小值大于﹣5,求实数k的取值范围.
共享时间:2023-06-15 难度:2 相似度:2
167966. (2023•师大附中•十一模) 已知函数fx)=4lnxax+a≥0).
(1)当a,求fx)的极值.
(2)当a≥1时,设gx)=2ex﹣4x+2a,若存在x1x2∈[,2],使fx1)>gx2),求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数,e=2.71828…)
共享时间:2023-07-18 难度:2 相似度:2
167192. (2023•周至四中•一模) 已知函数fx)=lnxax
(1)当a=2,求fx)的极值;
(2)若fx)≤﹣eax恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:2
19774. (2021•陕西省•乙卷) 已知函数fx)=lnax),已知x=0是函数yxfx)的极值点.
(1)求a
(2)设函数gx)=.证明:gx)<1.
共享时间:2021-06-21 难度:5 相似度:1.67
167764. (2024•西安一中•三模) 已知曲线在点(0,f(0))处的切线的斜率为3,且当x=3时,函数fx)取得极值.
(1)求函数在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数的极值;
(3)若存在x∈[0,3],使得不等式fx)﹣m≤0成立,求m的取值范围.
共享时间:2024-04-15 难度:3 相似度:1.67
168437. (2021•西安中学•七模) 已知函数fx)=
(1)若函数fx)的图象在x=1处的切线为y=1,求fx)的极值;
(2)若fx)≤ex+﹣1恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-06 难度:3 相似度:1.67
168344. (2022•长安区一中•三模) 已知函数fx)=ex
(1)若关于x的不等式fx)≥a(sinx+cosx)在上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当时,证明:fx)≥sinx+cosx
共享时间:2022-04-07 难度:1 相似度:1.5
167083. (2023•西安中学•高三上四月) 已知函数fx)=ex+ax2e2x
(1)若曲线在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,求函数fx)的单调区间;
(2)若x∈(0,1)时,总有fx)>xexe2x+1,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.5
166836. (2024•西安八十五中•一模) 已知函数fx)=a2x+a﹣2x+maxax)(a>0且a≠1).
(1)若m=2,求函数fx)的最小值;
(2)若fx)≥﹣1恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-03-12 难度:1 相似度:1.5
168082. (2023•西工大附中•十三模) 已知函数fx)=ex(1+alnx),其中a>0,设f′(x)为fx)导函数.
(Ⅰ)设gx)=exf′(x),若gx)≥2恒成立,求a的范围;
(Ⅱ)设函数fx)的零点为x0,函数f′(x)的极小值点为x1,当a>2时,求证:x0x1
共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:1.5
168253. (2021•西安中学•五模) 已知函数fx)=ex﹣1﹣axa∈R).
(1)试讨论函数fx)的零点个数;
(2)若函数gx)=lnex﹣1)﹣lnx,且f[gx)]<fx)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:1.5
167305. (2023•长安区一中•高三上四月) 已知函数a>0.
(1)讨论fx)极值点的个数;
(2)若fx)恰有三个零点t1t2t3t1t2t3)和两个极值点x1x2x1x2).
(ⅰ)证明:fx1)+fx2)=0;
(ⅱ)若mn,且mlnmnlnn,证明:
共享时间:2023-02-23 难度:1 相似度:1.5
168229. (2021•西安中学•四模) 已知函数fx)=(x+1)lnxx+1.
(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x﹣1)fx)≥0.
共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

dygzsxyn

2015-03-05

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2020*西工大*期末
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