如图以为顶点的六面体中四边形为菱形则平面当时二面角的正弦值为当时此六面体的体积为

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230603. （2025•临潼区•二模）如图，以A₁，B₁，C₁，A，B，C为顶点的六面体中，四边形AA₁C₁C为菱形，B₁C₁∥BC，B₁C₁＝

BC，∠C₁CA＝60°，AC＝2，AB＝2，∠BAC＝120°，则（　　）

A.AC⊥A₁B

B.AC₁∥平面A₁BB₁

C.当

时，二面角A₁﹣AB﹣C的正弦值为

D.当

时，此六面体的体积为

共享时间:2025-03-24 难度:1

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[考点]

几何法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

ABD

[解析]

解：对于A，取A₁B中点P，因为ACC₁A₁为菱形，所以AA₁＝AC＝2，

所以AA₁＝AB＝2，所以AP⊥A₁B，
△ACA₁中，∠A₁AC＝120°，

，
△ABC中，

，
所以A₁C＝BC，所以CP⊥A₁B，
因为AP，CP⊂面ACP，AP∩CP＝P，所以A₁B⊥面ACP，
因为AC⊂面ACP，所以A₁B⊥AC，故A正确；
对于B，取BC中点N，因为B₁C₁∥BC，且

，
则B₁C₁∥CN，B₁C₁＝CN，B₁C₁∥BN，B₁C₁＝BN，
即B₁C₁NB为平行四边形，B₁C₁CN为平行四边形，
所以B₁N∥CC₁，B₁N＝CC₁，所以B₁N∥A₁A，B₁N＝A₁A，
所以四边形ANB₁A₁为平行四边形，所以AN∥B₁A₁，
又因为C₁N∥BB₁，AN⊂平面AC₁N，B₁A₁⊄平面AC₁N，
所以B₁A₁∥平面AC₁N，同理BB₁∥平面AC₁N，
因为B₁A₁，BB₁⊂平面A₁BB₁，B₁A₁∩BB₁＝B₁，
所以平面A₁BB₁∥平面AC₁N，
因为AC₁⊂平面AC₁N，所以AC₁∥平面A₁BB₁，故B正确；
对于C，过A₁作A₁M⊥CA于点M，因为∠A₁AC＝∠BAC＝120°，AB＝AA₁，
所以BM⊥AC，且

，
又因为

，所以A₁M⊥BM，
又因为A₁M⊥CA，BM，CA⊂平面ABC，BM∩CA＝M，
所以A₁M⊥平面ABC，记二面角A₁﹣AB﹣C的平面角为θ，
所以

，
所以

，故C错误；

对于D，取BC中点G，连接B₁G，AG，
该几何体可分割为三棱柱A₁B₁C₁﹣AGC和三棱锥B﹣A₁AB₁，B﹣AGB₁，
则几何体体积

，
图中

，A₁到底面ABC的距离为

，
所以

，故D正确．
故选：ABD．

[点评]

本题考查了"几何法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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A.β＜γ＜α

B.β＜α＜γ

C.．α＜γ＜β

D.．α＜β＜γ

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，则CD的长为（　　）

A.22

B.49

C.7

D.．

共享时间:2023-04-08 难度:1 相似度:2

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