如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于和两点并与轴相交于点抛物线与关于坐标原点对称点在上的对应点分别为求抛物线的函数表达式在抛物线上是否存在点使得若存在求点的坐标若不存在请说明理由

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211982. （2025•铁一中学•三模） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，抛物线L₁：y=ax²+4ax-6与x轴交于A和B（2，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L₂与L₁关于坐标原点对称，点A、B在L₂上的对应点分别为A′、B′．
（1）求抛物线L₁的函数表达式；
（2）在抛物线L₂上是否存在点D，使得S_△DAA'=4S_△CBB'？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-12 难度:2

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[考点]

抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，

[答案]

（1）y＝

x²+2x﹣6；

（2）（2，8）（2﹣4

，﹣8）或（2+4

，﹣8）．

[解析]

解：（1）把B（2，0）代入y＝ax²+4ax﹣6得4a+8a﹣6＝0，
解得a＝

，
∴抛物线L₁的函数表达式为y＝

x²+2x﹣6；
（2）存在．
理由如下：
当y＝0时，

x²+2x﹣6＝0，
解得x₁＝﹣6，x₂＝2，
∴A（﹣6，0），
当x＝0时，y＝

x²+2x﹣6＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵抛物线L₂与L₁关于坐标原点对称，点A、B在L₂上的对应点分别为A′、B′，
∴B′（﹣2，0），A′（6，0），
∴抛物线L₂的解析式为y＝﹣

（x+2）（x﹣6），
即y＝﹣

x²+2x+6，
设D（t，﹣

t²+2t+6），
∵S_△DAA'＝4S_△CBB'，
∴

×12×|﹣

t²+2t+6|＝4×

×4×6，
当﹣

t²+2t+6＝8，解得t₁＝t₂＝2，
此时D点坐标为（2，8）；
当﹣

t²+2t+6＝﹣8时，解得t₁＝2﹣4

，t₂＝2+4

，
此时D点坐标为（2﹣4

，﹣8）或（2+4

，﹣8）．
综上所述，D点坐标为（2，8）（2﹣4

，﹣8）或（2+4

，﹣8）．

[点评]

本题考查了"抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

1000. （2018•陕西省•真题）已知抛物线L：y=x²+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

共享时间:2018-07-02 难度:4 相似度:1.67

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210811. （2025•曲江一中•三模）已知抛物线L：y＝﹣x²+2x+3，顶点为M，对称轴与x轴交于N，抛物线L与x轴交于点A、B两点（点A在点B左侧）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）将抛物线L向左或向右平移m个单位长度，得到抛物线L′，其中点A的对应点为A'，当∠AA'M＝∠AMN，求平移后抛物线的表达式．

共享时间:2025-04-01 难度:3 相似度:1.34

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60. （2013•泉州市•真题）已知抛物线y＝a（x﹣3）²+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y₁）、B（n，y₂）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.33

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509. （2018•陕西省•副题））已知抛物线L：y＝mx²﹣8x+3m与x轴相交于A和B（﹣1，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A、B在L′上的对应点分别为A′、B′
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:1.33

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211539. （2025•经开区•一模） $德优题库$ 如图，二次函数y=（x+2）²-1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB=S_△ABO，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-03-03 难度:1 相似度:1.33

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195791. （2025•阎良区•九上期末）已知二次函数y=-x²+2mx+4-m²（m为常数），求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.33

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190635. （2025•二十六中•九上期末）已知二次函数y=x²-2x+m-2的图象与x轴有交点，求非负整数m的值．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.33

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190484. （2025•碑林区•九上期末）将二次函数

的图象向下平移3个单位长度可以得到一个新的抛物线．
（1）请你写出这个新抛物线的函数表达式；
（2）判断点A（4，5）是否在这个新抛物线上．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.33

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190143. （2025•莲湖区•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积．

共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:1.33

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62. （2017•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与直线BC交于点N（x₃，y₃），若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.33

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212111. （2025•陆港中学•四模） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点Q（1，-2），点P是直线AQ下方抛物线上的一点，求△AQP面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

共享时间:2025-04-15 难度:1 相似度:1.33

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66. （2020•达州市•真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝

x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB＝S_△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+

ON的最小值．

共享时间:2021-01-06 难度:5 相似度:1.17

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190641. （2025•二十六中•九上期末） $德优题库$ 如图，二次函数y=ax²+4x+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0），C（0，5）．
（1）求点B的坐标；
（2）连接BC，现将二次函数y=ax²+4x+c的图象向下平移m个单位长度，使得顶点恰好落在线段BC上，请求出此时m的值．

共享时间:2025-03-01 难度:3 相似度:1.17

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6344. （2017•师大附中•模拟）如图，直线AB与抛物线l：y=-x²+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？
$德优题库$