知识回顾方法总结如图利用图可证明公式如图点为的边上一点且则与的面积比是如图则与的面积比是方法运用如图是两个全等的直角三角形纸片且按如图的两种方法分别将其折叠使折痕图中虚线过其中的一个顶点且使该顶点所在角的两边重合记折叠后不重叠部分面积分别为若求单个直角三角

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196754. （2024•铁一中学•七下期末）（1）知识回顾，方法总结：
①如图1，利用图1可证明公式：       ；
②如图2，点D为△ABC的边AB上一点，且AD=2BD，则△ACD与△BCD的面积比是        ；
③如图3，AB∥CD，则△ABD与△ABC的面积比是        ．
（2）方法运用1：如图4是两个全等的直角三角形纸片，∠ACB=90°，且AC：BC：AB=3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S₁，S₂．若S₁-S₂=5，求单个直角三角形纸片的面积．
（3）方法运用2．如图5，已知正方形ABCD，点H为边CD上任一点，分别过点A、C、D向射线BH作垂线，垂足分别为E、F、G，判断线段AE、CF、DG的数量关系并证明．
（4）继续探究：在（3）的条件下，连接CE、AG，CG，则下列结论正确的有        ．
①∠CDG=∠CBG；②S_△ABG=S_{四边形AECG}；③S_△ADG=S_△BEC；④DG=EF．
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共享时间:2024-07-24 难度:3

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[考点]

三角形的面积，全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，

[答案]

（1）①（m+n）²＝m²+2mn+n²；②2：1；③1：1；（2）36；（3）AE＝CF+CG，证明见解析；（4）①②④．

[解析]

解：（1）①∵S＝（m+n）²，同时S＝m²+2mn+n²，
∴（m+n）²＝m²+2mn+n²，
即利用图1可得的公式是：（m+n）²＝m²+2mn+n²．
故答案为：（m+n）²＝m²+2mn+n²．
②过C作CF⊥AB于点F，

则S_△ACD＝

AD•CF，S_△BCD＝

BD•CF，
∵AD＝2BD，
∴S_△ACD：S_△BCD＝2：1，
故答案为：2：1．
③过C作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AB于点F，

∵AB∥CD，
∴DE＝CF（平行线之间等距），
∵S_△ABD＝

AB•DE，S_△ABC＝

AB•CF，
∴S_△ACD：S_△BCD＝1：1，
故答案为：1：1．
（2）∵AC：BC：AB＝3：4：5，
∴设AC＝3x，则BC＝4x，AB＝5x，
由折叠可得AD＝AC＝3x，BD＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠ACB＝90°，
∵S_△ABM＝

AB•DM＝

BM•AC，
∴AB•DM＝BM•AC，即5x•DM＝（4x﹣DM）×3x，
解得DM＝

x，
∴S₁＝

BD•DM＝

x²，
由折叠可得BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝5x﹣4x＝x，AN＝3x﹣EN，
∵S_△ABN＝

AB•EN＝

AN•BC，
∴AB•EN＝AN•BC，即5x•EN＝（3x﹣EN）×4x，
解得：EN＝

x²，
∴S₂＝

AE•EN＝

x²，
∵S₁﹣S₂＝5，
∴

x²﹣

x²＝5，
解得x²＝6，
∴S_△ABC＝

AC•BC＝6x²＝36．
（3）AE＝CF+DG，理由如下：
如图，作DP⊥CF交CF延长线于点P，则∠CPD＝∠AEB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CHF，
∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDP（AAS），
∴AE＝CP，
∵CF⊥BH，DG⊥BH，DP⊥CF，
∴四边形DPFG是长方形，
∴DG＝PF，
∴AE＝CP＝CF+PF＝CF+DG，
即AE＝CF+DG．
（4）∵∠DGB＝∠BCH＝90°，∠DHG＝∠BHC，
∴∠CDG＝∠CBG（8字形）．
故①正确．
∵∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF，∠AEB＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
由（3）得△ABE≌△CDP，
∴AE＝BF＝CP，BE＝DP＝CF，
∵DG＝PF＝CP﹣CF，EF＝BF﹣BE，
∴DG＝EF，
故④正确．
∵EG＝EF+GF＝PF+CF＝CP＝AE，
∴S_△ABE＝S_△ECG，
∴S_△ABE+S_△AEG＝S_△ECG+S_△AEG，
∴S_△ABG＝S_{四边形AECG}，
故②正确．
当H靠近点D时，很明显G点离AD更近，E点离BC更远，因为AD＝BC，底相等，高不相等，所以△BEC的面积不一定等于△ADG的面积，
故③错误．
故答案为：①②④．

[点评]

本题考查了"三角形的面积，全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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