知识回顾方法总结如图利用图可证明公式如图点为的边上一点且则与的面积比是如图则与的面积比是方法运用如图是两个全等的直角三角形纸片且按如图的两种方法分别将其折叠使折痕图中虚线过其中的一个顶点且使该顶点所在角的两边重合记折叠后不重叠部分面积分别为若求单个直角三角

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196754. （2024•铁一中学•七下期末）（1）知识回顾，方法总结：
①如图1，利用图1可证明公式：       ；
②如图2，点D为△ABC的边AB上一点，且AD=2BD，则△ACD与△BCD的面积比是        ；
③如图3，AB∥CD，则△ABD与△ABC的面积比是        ．
（2）方法运用1：如图4是两个全等的直角三角形纸片，∠ACB=90°，且AC：BC：AB=3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S₁，S₂．若S₁-S₂=5，求单个直角三角形纸片的面积．
（3）方法运用2．如图5，已知正方形ABCD，点H为边CD上任一点，分别过点A、C、D向射线BH作垂线，垂足分别为E、F、G，判断线段AE、CF、DG的数量关系并证明．
（4）继续探究：在（3）的条件下，连接CE、AG，CG，则下列结论正确的有        ．
①∠CDG=∠CBG；②S_△ABG=S_{四边形AECG}；③S_△ADG=S_△BEC；④DG=EF．
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共享时间:2024-07-24 难度:3

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[考点]

三角形的面积，全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，

[答案]

（1）①（m+n）²＝m²+2mn+n²；②2：1；③1：1；（2）36；（3）AE＝CF+CG，证明见解析；（4）①②④．

[解析]

解：（1）①∵S＝（m+n）²，同时S＝m²+2mn+n²，
∴（m+n）²＝m²+2mn+n²，
即利用图1可得的公式是：（m+n）²＝m²+2mn+n²．
故答案为：（m+n）²＝m²+2mn+n²．
②过C作CF⊥AB于点F，

则S_△ACD＝

AD•CF，S_△BCD＝

BD•CF，
∵AD＝2BD，
∴S_△ACD：S_△BCD＝2：1，
故答案为：2：1．
③过C作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AB于点F，

∵AB∥CD，
∴DE＝CF（平行线之间等距），
∵S_△ABD＝

AB•DE，S_△ABC＝

AB•CF，
∴S_△ACD：S_△BCD＝1：1，
故答案为：1：1．
（2）∵AC：BC：AB＝3：4：5，
∴设AC＝3x，则BC＝4x，AB＝5x，
由折叠可得AD＝AC＝3x，BD＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠ACB＝90°，
∵S_△ABM＝

AB•DM＝

BM•AC，
∴AB•DM＝BM•AC，即5x•DM＝（4x﹣DM）×3x，
解得DM＝

x，
∴S₁＝

BD•DM＝

x²，
由折叠可得BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝5x﹣4x＝x，AN＝3x﹣EN，
∵S_△ABN＝

AB•EN＝

AN•BC，
∴AB•EN＝AN•BC，即5x•EN＝（3x﹣EN）×4x，
解得：EN＝

x²，
∴S₂＝

AE•EN＝

x²，
∵S₁﹣S₂＝5，
∴

x²﹣

x²＝5，
解得x²＝6，
∴S_△ABC＝

AC•BC＝6x²＝36．
（3）AE＝CF+DG，理由如下：
如图，作DP⊥CF交CF延长线于点P，则∠CPD＝∠AEB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CHF，
∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDP（AAS），
∴AE＝CP，
∵CF⊥BH，DG⊥BH，DP⊥CF，
∴四边形DPFG是长方形，
∴DG＝PF，
∴AE＝CP＝CF+PF＝CF+DG，
即AE＝CF+DG．
（4）∵∠DGB＝∠BCH＝90°，∠DHG＝∠BHC，
∴∠CDG＝∠CBG（8字形）．
故①正确．
∵∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF，∠AEB＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
由（3）得△ABE≌△CDP，
∴AE＝BF＝CP，BE＝DP＝CF，
∵DG＝PF＝CP﹣CF，EF＝BF﹣BE，
∴DG＝EF，
故④正确．
∵EG＝EF+GF＝PF+CF＝CP＝AE，
∴S_△ABE＝S_△ECG，
∴S_△ABE+S_△AEG＝S_△ECG+S_△AEG，
∴S_△ABG＝S_{四边形AECG}，
故②正确．
当H靠近点D时，很明显G点离AD更近，E点离BC更远，因为AD＝BC，底相等，高不相等，所以△BEC的面积不一定等于△ADG的面积，
故③错误．
故答案为：①②④．

[点评]

本题考查了"三角形的面积，全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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196458. （2024•爱知中学•七下期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．
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（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=5，AC=8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP：CP的值．

共享时间:2024-07-21 难度:2 相似度:1.67

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197252. （2025•铁一中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，BD：DC=2：5，则S_△ABD：S_△ADC= ．
【问题探究】
（2）小樱遇到这样一个问题：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A在∠BAC内部作直线AM，点E，D在AM上，且∠CEA=∠BDM=90°，判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系并说明理由．
【问题解决】
（3）李大爷有块三角形农田，如图3，笔直的小路AG从农田△ABC中穿过，李大爷把农田分成若干块分别种上小麦和油菜，其中△BDE和△ACD都种植小麦，李大爷发现AB=AC，小路AG与小路BC交于点F且BF=2CF，点E、D在小路AG上，且∠BEG=∠CDG=∠BAC．若小麦种植区△ACD里需要施肥200千克（同种农作物的施肥量和农田的面积成正比），请你帮李大爷算一下小麦种植区△BDE里需要施肥多少千克？
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共享时间:2025-05-20 难度:2 相似度:1.67

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180268. （2024•逸翠园中学•七下二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，点E是边BC上一点，连接AE，延长EA至点D，连接CD，∠B=∠D，∠BAC+∠CAE=180°，求证：BC=DC．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.33

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192820. （2024•西安三中•八下一月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求BE的长．

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.33

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181100. （2024•爱知中学•九下一月）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:1.33

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.33

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185672. （2024•滨河中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）若∠BAD=20°，求∠CDF的度数．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.33

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174024. （2024•西工大附中•九上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D=∠AEC，BC=3，CE=2，求AD的长．

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:1.33

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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共享时间:2022-05-25 难度:3 相似度:1.33

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174052. （2024•西工大附中•八上一月）如图，一次函数

的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）过点B作直线BC交x轴于点C，若AC＝3OA，求△BOC的面积．

共享时间:2024-10-22 难度:1 相似度:1.33

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185620. （2024•铁一中学•七下期中） $德优题库$ 如图，AC=AD，∠1=∠2=50°，∠B=∠AED，点E在线段BC上．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠B的度数．

共享时间:2024-05-10 难度:1 相似度:1.33

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195823. （2025•阎良区•八上期末） $德优题库$ 如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿着堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，达到C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点，量得CD的距离是35米．你知道在点A处小明与游艇的距离吗？请说出他这样做的理由．