卵形线是由法国天文家引入的卵形的定义线上的任何点到两个固定点的距离的乘积等于常数是正常数设的距离为如果就得到一个没有自交点的卵形线如果就得到一个双纽线如果就得到两个卵形线若动点满足若和是动点的轨迹与轴交点中距离最远的两点则面积的最大值为

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171025. （2025•高新一中•高二下期中） Cassini卵形线是由法国天文家Jean﹣Dominique Cassini（1625﹣1712）引入的．卵形的定义：线上的任何点到两个固定点S₁，S₂的距离的乘积等于常数b²．b是正常数，设S₁，S₂的距离为2a，如果a＜b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a＝b，就得到一个双纽线；如果a＞b，就得到两个卵形线．若S₁（0，﹣2），S₂（0，2）．动点P满足|PS₁||PS₂|＝4，若A和A′是动点P的轨迹与y轴交点中距离最远的两点，则△APA′面积的最大值为　．

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[考点]

轨迹方程，

[答案]

．

[解析]

解：由题意可得2a＝4，b²＝4，即a＝b＝2，则动点P的轨迹为双纽线，
设P（x，y），由|PS₁|•|PS₂|＝

•

＝4，
化为（x²+y²）²+8（x²﹣y²）＝0，
令x＝0，可得y⁴﹣8y²＝0，解得y＝0或y＝±2

，
不妨设A（0，﹣2

），A'（0，2

），
由对称性，可考虑P在第一象限的情况，
因为|AA'|＝4

为定值，所以△APA'面积最大时，即P的横坐标最大．
又（x²+y²）²+8（x²﹣y²）＝0，即x⁴+（2y²+8）x²+y⁴﹣8y²＝0，
可得x²＝﹣y²﹣4+4

，可令t＝

，
则y²＝t²﹣1，
因为0≤y≤2

，即有1≤t≤3，
则f（t）＝﹣t²﹣3+4t＝﹣（t﹣2）²+1，
可得t＝2时，f（t）取得最大值1，此时x²的最大值为1，
即x的最大值为1，所以△APA'的最大值为

×4

×1＝2

．
故答案为：2

．

[点评]

本题考查了"轨迹方程，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:2

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共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:2

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共享时间:2024-03-07 难度:1 相似度:2

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共享时间:2020-04-06 难度:1 相似度:2

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共享时间:2024-02-22 难度:1 相似度:2

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共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:2

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共享时间:2022-07-05 难度:1 相似度:2

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共享时间:2025-05-28 难度:1 相似度:2

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共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1.5

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2025-05-13

高中数学 | 高二下 | 填空题

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