如图所示在长方体中点是的中点证明平面证明求二面角的正切值

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170554. （2021•西安中学•高一上期末）如图所示，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E是AB的中点．
（Ⅰ）证明：BD₁∥平面A₁DE；
（Ⅱ）证明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅲ）求二面角D₁﹣EC﹣D的正切值．

共享时间:2021-02-10 难度:3

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[考点]

直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，

[答案]

（Ⅰ）证明过程见解答；

（Ⅱ）证明过程见解答；

（Ⅲ）

．

[解析]

解：（Ⅰ）证明：连接AD₁交A₁D于O，则O为AD₁的中点，
∵点E是AB的中点，∴OE∥BD₁，
BD₁⊄平面A₁DE，OE⊂平面A₁DE，
∴BD₁∥平面A₁DE；
（Ⅱ）证明：在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
∵AD＝AA₁＝1，∴A₁D⊥AD₁，
又在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
∵AB⊥侧面ADD₁A₁，A₁D⊂侧面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB，即A₁D⊥AE，
又∵AD₁∩AE＝A，AD₁，AE⊂面AD₁E，
∴AD₁⊥面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E．
（Ⅲ）：连结DE，在矩形ABCD中，
∵AB＝2，AD＝1，且E为AB中点，∴DE⊥CE，且DE＝

，
又∵DD₁⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，
∴DD₁⊥CE，而DD₁∩DE＝D，DD₁，DE⊂面DD₁E，
∴CE⊥面DD₁E，D₁E⊂面DD₁E，∴D₁E⊥CE，
∴∠DED₁是二面角D﹣CE﹣D₁的平面角，
在Rt△DD₁E中，tan∠DED₁＝

＝

，
∴二面角D﹣CE﹣D₁的平面角的正切值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166875. （2024•西安八十三中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，AC＝CB＝2，AA₁＝2

，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求二面角A₁﹣CE﹣A的余弦值．

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1.67

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167349. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:1.67

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22111. （2021•西安中学•二模） $德优题库$ 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB=∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D-AA₁-C的正弦值．

共享时间:2021-03-18 难度:3 相似度:1.67

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167302. （2023•长安区一中•高三上四月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB＝2．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1.67

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167940. （2023•师大附中•三模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67

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166388. （2024•长安区一中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

共享时间:2024-12-18 难度:2 相似度:1.67

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167670. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，直线C₁B⊥平面ABC，平面AA₁ C₁C⊥平面BB₁C₁C．
（1）求证：AC⊥BB₁；
（2）若AC＝BC＝BC₁＝2，在棱A₁B₁上是否存在一点P，使二面角P﹣BC﹣C₁的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:1.67

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167238. （2023•周至六中•高二上一月）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的侧面A₁ADD₁是正方形．
（1）证明：A₁D⊥平面ABD₁；
（2）若AD＝2，AB＝4，求二面角B₁﹣AD₁﹣C的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:1.67

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167452. （2023•雁塔二中•高二上二月）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A﹣MA₁﹣N的正弦值．

共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67

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166835. （2024•西安八十五中•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，

．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．

共享时间:2024-03-12 难度:2 相似度:1.67

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166799. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A₁A＝A₁B₁＝2，侧棱A₁A⊥平面ABC，点D是棱CC₁的中点．
（1）证明：BB₁⊥平面AB₁C；
（2）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.67

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167602. （2023•新城一中•高二上二月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）若AB＝1，AD＝2，AP＝2，求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．

共享时间:2023-12-19 难度:2 相似度:1.67

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166757. （2024•建大附中•一模）如图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AFG∥平面HCD，

，AB＝6，底面ABCDEF为正六边形．
（1）证明：GH∥平面ABCDEF．
（2）证明：GH⊥平面AFG．
（3）求GE与平面ABG所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.34

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．

共享时间:2023-10-15 难度:3 相似度:1.34

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3 相似度:1.34

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2021-02-10

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2020-2021学年陕西省西安中学高一（上）期末数学试卷

更新:2021-02-10 12:28浏览量:24

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