如图在直三棱柱中分别为的中点证明平面求直线与平面所成角的正弦值

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167189. （2023•周至四中•一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB₁＝2，D，E，F分别为AA₁，B₁C₁，AB的中点．
（1）证明：EF∥平面ACC₁A₁；
（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-04 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，直线与平面所成的角，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）

．

[解析]

（1）证明：取AC的中点G，连接FG，C₁G，

∵F，G分别为AB，AC的中点，∴FG∥BC，

，
又E为B₁C₁的中点，BC∥B₁C₁，BC＝B₁C₁，
∴FG∥EC₁，FG＝EC₁，
∴四边形EFGC₁是平行四边形，
∴EF∥C₁G．
又EF⊄平面ACC₁A₁，C₁G⊂平面ACC₁A₁，
∴EF∥平面ACC₁A₁；
（2）解：在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
又BA，BC⊂平面ABC，∴BB₁⊥BA，BB₁⊥BC，
又BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则C（0，2，0），D（2，0，1），E（0，1，2），F（1，0，0），
∴

，

，
设平面DEF的法向量为

，则

，
令x＝1，得

设直线CE与平面DEF所成的角为θ，
则

，
即直线CE与平面DEF所成角的正弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，直线与平面所成的角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167128. （2023•西安中学•高二上一月）如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD＝2，∠ADC＝60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是△ADE的重心，连结AC，BE交于点F．

（1）求证：GF∥平面CDE；
（2）求直线GF与平面BCD所成角的正弦值．

共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:2

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168871. （2021•西工大附中•十模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，AD⊥CD，AB⊥BC，Q为四边形ABCD的外接圆的圆心，PQ⊥平面ABCD，M在棱PA上，且AM＝2MP．
（1）证明：MQ∥平面PBD；
（2）若MQ与平面ABCD所成角为60°，求PC与平面PAD所成角的正弦值．

共享时间:2021-07-03 难度:2 相似度:2

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170190. （2023•高新一中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:2

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169352. （2024•师大附中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，

，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:2

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168388. （2023•交大附中•十三模）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝

CP，DE＝

DA．
（1）证明：EF∥平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:2

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171458. （2023•长安区一中•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，且PA＝1．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求直线BE与平面PAB所成角的余弦值．

共享时间:2023-11-29 难度:2 相似度:2

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170442. （2022•长安区一中•高二上期末）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH＝DH＝

AD＝1．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）若平面BDG∩平面ADH＝m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:2

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171393. （2023•西安中学•高二上期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点．
（1）求证：A₁D∥平面B₁CE；
（2）求直线CD与平面B₁CE所成角的正弦值．

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:2

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170815. （2020•西安中学•高二上期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AA₁＝2，AC＝BC＝1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

共享时间:2020-02-15 难度:2 相似度:2

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169145. （2020•西工大附中•二模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC＝120°，

，

，E、F分别是BC、A₁C₁的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB₁．
（2）求直线B₁E与平面A₁BE所成角的正弦值．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:2

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．

共享时间:2023-10-15 难度:3 相似度:1.67

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170011. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABMN中，△PNM是边长为2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，

，C，D分别是线段AB，NP的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面ANMB⊥平面NMP；
（3）求直线CD与平面ABP所成角的正弦值．

共享时间:2023-02-15 难度:3 相似度:1.67

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168149. （2023•西工大附中•六模）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为菱形，

，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）若

，证明直线AG在平面AEF内；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为

，试确定

的值．

共享时间:2023-05-19 难度:1 相似度:1.5

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167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2023-12-29 难度:1 相似度:1.5

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171890. （2023•长安区一中•高一下期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.5

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2023-03-04

高中数学 | | 解答题

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更新:2023-03-04 02:06浏览量:8

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