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169527. (2024•铁一中学•高三上期末) 已知F1F2分别为双曲线C=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(2,3)在C上,且△PF1F2的面积为6.
(1)求C的方程;
(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于AB两点,Qx轴上一点,满足|QA|=|QB|,证明:为定值.
共享时间:2024-02-27 难度:1
[考点]
双曲线的几何特征,
[答案]
(1)
(2)证明见解析.
[解析]
解:(1)由题意点P(2,3)在C上,且△PF1F2的面积为6,
可得,则c=2,
c2a2+b2=4,解得a2=1,b2=3,
故双曲线方程为
证明:(2)由于直线交双曲线C的右支于AB两点,故k≠0,
联立,可得(3﹣k2x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,
k2=3时,直线与双曲线的渐近线平行,此时直线和双曲线只有一个交点,不合题意;
k2≠3,此时Δ=36(k2+1)>0,
Ax1y1),Bx2y2),则

AB的中点坐标为
因为Qx轴上一点,满足|QA|=|QB|,故QAB的垂直平分线与x轴的交点,
AB的垂直平分线的方程为:
y=0,则得,即
所以

又因为AB在双曲线的右支上,故|AF1|﹣|AF2|=2a=2,|BF1|﹣|BF2|=2,
故|AF1|+|BF1|﹣|AF2|﹣|BF2|=4,即|AF1|+|BF1|﹣4=|AB|,
,即为定值.
[点评]
本题考查了"双曲线的几何特征,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
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166661. (2024•高新一中•三模) 已知中心在坐标原点O,以坐标轴为对称轴的双曲线E经过点,且其渐近线的斜率为
(1)求E的方程.
(2)若动直线lE交于AB两点,且,证明:为定值.
共享时间:2024-04-04 难度:1 相似度:2
170795. (2020•西安中学•高二上期末) 已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点(﹣3,).
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线4xy﹣6=0与双曲线相交于AB两点,求|AB|的值.
共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:2
171010. (2024•华清中学•高二上期中) 已知曲线Cx2y2=1及直线lykx﹣1.且直线l与双曲线C有两个不同的交点AB
(1)求实数k的取值范围;
(2)O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2
171068. (2024•高新一中•高二上期中) 在平面直角坐标系xOy中,利用公式①(其中abcd为常数),将点Pxy)变换为点P′(x′,y′)的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由abcd组成的正方形数表唯一确定,我们将称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母AB,…表示.
(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,将点Pxy)绕原点O按逆时针旋转α角得到点P′(x′,y′)(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A
(2)在平面直角坐标系xOy中,求双曲线xy=1绕原点O按逆时针旋转(到原点距离不变)得到的双曲线方程C
(3)已知由(2)得到的双曲线C,上顶点为D,直线l与双曲线C的两支分别交于AB两点(B在第一象限),与x轴交于点.设直线DADB的倾斜角分别为α,β,求证:α+β为定值.

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:2
167649. (2024•西安中学•一模) 已知双曲线C,其左、右顶点分别为AB,其离心率为2,且虚轴长为
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)一动点TAB的连线分别与双曲线的右支交于PQ两点,且PQ恒过双曲线的右焦点,求证:点T在定直线上.
共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:1.5
167741. (2024•西安一中•四模) 已知双曲线C=1(a>0,b>0)的离心率为,虚轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于PQ两点,O为坐标原点,证明:△OPQ的面积为定值.
共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.5
167920. (2024•西安工业大学附中•六模) 已知双曲线Γ:的实轴长为4,左、右焦点分别为F1F2,其中F2到其渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的标准方程;
(2)若点P是双曲线Γ在第一象限的动点,双曲线Γ在点P处的切线l1x轴相交于点T
i)证明:射线PT是∠F1PF2的角平分线;
ii)过坐标原点O的直线l2l1垂直,与直线PF1相交于点Q,求△QF1F2面积的取值范围.
共享时间:2024-05-20 难度:2 相似度:1.5
167922. (2024•西安工业大学附中•六模) 已知双曲线Γ:的实轴长为4,左、右焦点分别为F1F2,其中F2到其渐近线的距离为1
1)求双曲线Γ的标准方程;
2)若点P是双曲线Γ在第一象限的动点,双曲线Γ在点P处的切线l1x轴相交于点T
i)证明:射线PT是∠F1PF2的角平分线;
ii)过坐标原点O的直线l2l1垂直,与直线PF1相交于点Q,求△QF1F2面积的取值范围.
共享时间:2024-05-20 难度:2 相似度:1.5
168081. (2023•西工大附中•十三模) 已知双曲线C的右顶点为AO为原点,点P(1,1)在C的渐近线上,△PAO的面积为
(1)求C的方程;
(2)过点P作直线lCMN两点,过点Nx轴的垂线交直线AM于点GHNG的中点,证明:直线AH的斜率为定值.
共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.5
168104. (2023•西工大附中•十三模) 已知双曲线C的右顶点为AO为原点,点P(1,1)在C的渐近线上,△PAO的面积为
(1)求C的方程;
(2)过点P作直线lCMN两点,过点Nx轴的垂线交直线AM于点GHNG的中点,证明:直线AH的斜率为定值.
共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.5
168482. (2021•西安中学•三模) 已知双曲线的一条渐近线方程为,点在双曲线上,抛物线y2=2pxp>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合.
(Ⅰ)求双曲线和抛物线的标准方程;
(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线l1l2,设l1与抛物线的交点为ABl2与抛物线的交点为DE,求|AB|+|DE|的最小值.
共享时间:2021-04-14 难度:2 相似度:1.5
171106. (2024•西安三中•高二上期中) 已知AB分别是双曲线的左、右顶点,PC上异于AB的一点,直线PAPB的斜率分别为k1k2,且k1k2=|AB|=4.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知过点(4,0)的直线lxmy+4,交C的左,右两支于DE两点(异于AB),
i)求m的取值范围;
ii)设直线AD与直线BE交于点Q,求证:点Q在定直线上.
共享时间:2024-11-16 难度:2 相似度:1.5

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2024-02-27

高中数学 | 高三上 | 解答题

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2020*西工大*期末
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