已知直四棱柱的棱长均为以为球心为半径的球面与侧面的交线长为

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169391. （2024•西安中学•高三上期末）已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D₁为球心，

为半径的球面与侧面BCC₁B₁的交线长为　．

共享时间:2024-02-08 难度:1

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[考点]

球内接多面体，

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[答案]

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[解析]

解：由题意直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD＝60°．可知：D₁B₁＝2，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y）为半径

的球面上的点，过P作PE垂直B₁C₁的垂线，E为垂足，
则D₁E²＝D₁B₁²+x²﹣2•D₁B₁•xcos60°＝x²+4﹣2x．
由题意可知D₁P＝

．
可得：5＝x²+4﹣2x+（2﹣y）²．
即（x﹣1）²+（y﹣2）²＝2，
所以P在侧面BCC₁B₁的轨迹是以B₁C₁的中点为圆心，半径为

的圆弧．
以D₁为球心，

为半径的球面与侧面BCC₁B₁的交线长为：

＝

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"球内接多面体，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

236259. （2017•西安中学•高一上期末）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，且其6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA₁＝12，则球O的半径为　．

共享时间:2017-02-15 难度:1 相似度:2

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167939. （2023•师大附中•三模）已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，AA₁＝3，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA₁⊥底面ABCD，以D₁为球心，半径为2的球面与侧面BCC₁B₁的交线的长度为　．

共享时间:2023-04-08 难度:1 相似度:2

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261536. （2019•陕西省•新课标Ⅱ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．
$德优题库$

共享时间:2019-06-16 难度:1 相似度:2

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261513. （2019•陕西省•新课标Ⅱ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．
$德优题库$

共享时间:2019-06-21 难度:1 相似度:2

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169346. （2024•师大附中•高一下期末）已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球半径为　．

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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169808. （2023•西安中学•高一下期末）已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D₁为球心，

为半径的球面与侧面BCC₁B₁的交线长为　．

共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:2

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236968. （2015•高新一中•高二上期末）已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接圆的表面积等于　　．

共享时间:2015-02-23 难度:2 相似度:1.5

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264294. （2017•陕西省•新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．

共享时间:2017-06-10 难度:2 相似度:1.5

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237696. （2019•铁一中学•高二上期中）在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱

，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为　　．

共享时间:2019-11-13 难度:2 相似度:1.5

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237674. （2019•铁一中学•高二上期中）在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱

，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为　　．

共享时间:2019-11-23 难度:2 相似度:1.5

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236490. （2016•西安中学•高一上期末）如果球的内接正方体的表面积为24，那么球的体积等于　．

共享时间:2016-02-16 难度:2 相似度:1.5

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233180. （2022•西安中学•高二上二月）一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是　　．

共享时间:2022-12-20 难度:2 相似度:1.5

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233382. （2022•西工大附中•高三上一月）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　．

共享时间:2022-10-18 难度:2 相似度:1.5

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271414. （2022•长安区一中•高二上一月）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为　　．

共享时间:2022-10-28 难度:2 相似度:1.5

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230530. （2025•长安区•二模）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，且AB⊥BC．记直线PA，PC与平面ABC所成角分别为α，β，已知β＝2α＝60°，当三棱锥P﹣ABC的体积最小时，平面PAC截三棱锥P﹣ABC的外接球的截面面积为　　．

共享时间:2025-03-26 难度:2 相似度:1.5

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2024-02-08

高中数学 | 高三上 | 填空题

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2023-2024学年陕西省西安中学高三（上）期末数学试卷（文科）

更新:2024-02-08 04:23浏览量:36

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