如图正方体的棱长为线段上有两个动点且则下列结论中正确的结论序号是平面异面直线所成的角为定值直线与平面所成的角为定值以为顶点的四面体的体积随位置的变化而变化

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167077. （2023•西安中学•高三上四月）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF＝

，则下列结论中正确的结论序号是　　．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③异面直线AE，BF所成的角为定值；
④直线AB与平面BEF所成的角为定值；
⑤以A、B、E、F为顶点的四面体的体积随EF位置的变化而变化．

共享时间:2023-02-19 难度:3

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[考点]

异面直线及其所成的角，直线与平面平行，几何法求解直线与平面所成的角，

[答案]

①②④．

[解析]

解：∵BE在底面ABCD内的射影为BD，又AC⊥BD，
∴根据三垂线定理可得AC⊥BE，∴①正确；
∵EF∥BD，又EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，∴②正确；
如图，设AC∩BD＝O，连接EO，

则易知EF∥OB，且EF＝OB＝

，
∴四边形EFBO为平行四边形，
∴BF∥OE，
∴异面直线AE，BF所成的角为∠AEO，
显然∠AEO是变化的，∴③错误；
∵平面BEF即为平面BDD₁B₁，
∴直线AB与平面BEF所成的角为定值，∴④正确；
∵EF＝

，又BD∥B₁D₁，∴△BEF的面积为定值，
又A到平面BDD₁B₁的距离为定值，
∴四面体ABEF的体积为定值，∴⑤错误．
故答案为：①②④．

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，直线与平面平行，几何法求解直线与平面所成的角，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168524. （2021•西安中学•六模）如图所示，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若AB＝BC，E，F分别是AB₁，BC₁的中点，①EF与BB₁垂直；②EF⊥平面BCC₁B₁；③EF与C₁D所成的角为45°；④EF∥平面A₁B₁C₁D₁．则以上结论中成立的是　．

共享时间:2021-05-18 难度:2 相似度:1.5

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167124. （2023•西安中学•高二上一月）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记

．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是　　．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.25

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167275. （2023•长安区一中•高三上五月）在正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，BC＝2AA₁，M是BC的中点，则异面直线BD₁与MC₁所成角的大小为　．

共享时间:2023-12-29 难度:1 相似度:1.25

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168477. （2021•西安中学•三模）如图所示，平面BCC₁B₁⊥平面ABC，∠ABC＝120°，四边形BCC₁B₁为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC₁与AC所成角的余弦值为　．

共享时间:2021-04-14 难度:1 相似度:1.25

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168661. （2021•西安中学•仿真）在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成的角的余弦值为　．

共享时间:2021-06-07 难度:1 相似度:1.25

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169266. （2025•西工大附中•高二上期末）已知空间中的三点A（3，0，0），B（0，3，3），C（0，1，0），则直线AC与AB所成角的余弦值为　．

共享时间:2025-02-18 难度:1 相似度:1.25

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170438. （2022•长安区一中•高二上期末）在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°．则异面直线AO与BC的夹角的余弦值为　．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.25

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166426. （2024•西光中学•高二上一月）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为

，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于　．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:0.75

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172044. （2023•铁一中学•高一下期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是　　．

共享时间:2023-05-21 难度:2 相似度:0.75

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167232. （2023•周至六中•高二上一月）如图，空间四边形ABCD的各边长均相等，AB⊥AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面CBD，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；
②异面直线AB与CD所成的角为60°；
③△ADC为等边三角形；
④AB与平面BCD所成的角为60°．
其中正确结论的序号是　　.（请将正确结论的序号都填上）