问题提出如图在锐角中如何作一个正方形使落在边上分别落在边上勤奋小组同学给出了如下作法画一个有三个顶点落在两边上的正方形连接并延长交于点过点作于点过作交于点过点作于点则四边形即为所求作的正方形受勤奋小组同学的启发创新小组同学认为可以在锐角中作出长与宽的比为的矩形使位于边上分别位于边上你

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23874. （2020•益新中学•九上期末）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC=12，求出矩形DEFG的面积． $德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:5

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相似

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[考点]

相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，四边形综合题，

[答案]

（1）正确；
（2）图形见解析；
（3）18或．

[解析]

解：（1）正确．
理由：∵EF⊥BC，BC⊥GD，
∴∠FED＝∠EDG＝90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG＝180°﹣∠FED＝90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形HIJK是正方形，
∴IJ＝KJ，KJ∥BC，
∴

，
∴GF＝EF，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）如图1和图2，矩形DEFG为所作．

（3）如图3，作△ABC的高AM，交GF于点N，

∵△ABC的面积＝

BC•AM＝

×12×AM＝36，
∴AM＝6，
∵DE＝2DG，
设AN＝x，则MN＝6﹣x，DG＝MN＝6﹣x，DE＝GF＝2（6﹣x）＝12﹣2x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴

，
∴

，
解得x＝3，
∴DG＝6﹣x＝3，
∴DE＝2DG＝6，
∴矩形DEFG的面积＝6×3＝18，
同理，在矩形DEFG中，若DG＝2DE，可求出x＝

，
∴DG＝6﹣x＝

，DE＝

，
∴矩形DEFG的面积＝

＝

，
故矩形DEFG的面积为18或

．

[点评]

本题考查了"相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的判定与性质,四边形综合题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

19254. （2016•西工大附中•模拟）问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，正方形MNFE的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．
（2）如图2，△ABC中，BC＝12，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，AD＝8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）．
问题解决
（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于点D，请以点D为位似中心作正方形MNPQ，使得点M、N、P、Q在四边形ABEC的各边上．
要求：①写出作法，证明四边形MNPQ是正方形；
②求出正方形MNPQ的面积．

共享时间:2016-06-06 难度:5 相似度:1.5

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199189. （2022•交大附中•八下期中）（1）如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S_△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为　　．
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝

，PC＝4．求∠APB的度数．
（3）如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S_△PAD＝2S_△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-05-14 难度:1 相似度:1.25

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181568. （2024•曲江一中•八下二月）【问题提出】
（1）如图1，点D是△ABC边BC的中点，则S_△ABD S_△BCD（填“＞、＜、=”，下同）．
如图2，直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则S_△ABC= S_△ABF；
【问题探究】
（2）如图3，点D是△ABC边AC上一定点，使用三角板在BC上作出点E，使得线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，四边形ABCD是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量AB=6米，AD=30米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．
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共享时间:2024-06-21 难度:1 相似度:1.25

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180297. （2023•逸翠园中学•八上二月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2023-12-10 难度:1 相似度:1.25

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181134. （2024•爱知中学•月考）问题提出：
（1）如图1，在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球．已知球到灯和到地面的距离相等，且球的直径是40cm即AB＝40cm，则这个球在地面上的影子的面积是　　．（结果保留π）
问题探究：
（2）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图2所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内，点F、G在BC边上），若AC＝4，求FG的最小值，并证明你的结论．（结果保留根号）
问题解决：
（3）某地质勘察队，为了进行资源勘测，建立了一个四边形野外勘察基地ABCD，如图3所示，现在此勘察基地铺设了两条道路，DE，AC，并使得∠AFE＝∠ADC且CA⊥BA，现测得

米，CF＝AB＝600米，

，根据工作需要在点A处安装了一个可转动的照明灯，照明灯的两边缘光线夹角不变且与BC分别交于点G、H（受实际因素影响点G、H始终在BC边上），经过测量，∠B与∠GAH恰好互余，为了尽快完成勘察工作，勘察队需要夜间工作，那么夜间工作时，整个基地未被灯光A照到的盲区部分面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积是多少，如果不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:1.25

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181160. （2023•爱知中学•月考）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2022-12-01 难度:1 相似度:1.25

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181186. （2023•爱知中学•九上四月）（1）如图1，∠ABC＝90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE＝4，BE＝2，BF＝3，求CF的长度为　　．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF＝90°，AM＝2，当BE+BF＝9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF＝α且

，若BF＝8，求BE的长度．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.25

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181324. （2024•未央区•七下二月）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，已知BC=6，P为边BC上一动点，S_△ABC=6，则AP的最小值为．
问题探究
（2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题；如图2，正方形ABCD的边长为4，E为DC的中点，P为对角线BD上的动点，F为BC上的动点，请求出PE+PF的最小值．请你解决小哲提出的问题．
问题解决
（3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地ABCD，公园管理部门在△ACD内规划设置体育锻炼区域，在△ABC内设置合唱团训练区域，在BD处修建养生小路，要求BD尽可能的长，其中AB=10m,BC=16m,AD=AC，∠CAD=60°．已知铺设小路 BD的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱．
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共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:1.25

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181373. （2024•经开一中•八下一月） $德优题库$ 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图1，若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=65°，∠B=80°，则∠C的度数为 °．
（2）如图2，“等对角四边形”ABCD，已知：∠ABC=∠ADC，BC=CD，你认为AB=AD成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
（3）在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7，AD=5．求对角线AC的长．

共享时间:2024-04-18 难度:1 相似度:1.25

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181469. （2024•铁一中学•七下二月）【初步探究】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．
①由题中条件判断BD与CE的数量关系：BD CE；
②BD与EC是否存在特殊的位置关系？请你证明．
【灵活运用】
（2）将△ADE绕点A旋转至如图2所示位置，连接BD、CE．在（1）中的结论下，若AB=3，AE=5，四边形BCDE的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:1.25

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181494. （2024•铁一中学•八下一月）综合与实践
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°，连接AC．若点E、F分别在边BC，CD上，且BE=CF．
①求证：△AEF是等边三角形；
②若AC=6，求四边形AECF的面积；
（2）某小区有一块四边形空地，如图②，经测量：AB=AD=8m,AC=10m,∠BCD=120°，∠BAD=60°，物业决定在此规划花园，以△ABD和△BCD为大致轮廓种植月季和薰衣草，如图③，为了观赏方便，物业决定过点E规划三条路线，分别为EC、EF、EG（宽度忽略不计），其中CE⊥BD，EF⊥AB，EG⊥AD，求三条路线的距离之和．
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共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:1.25

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181543. （2023•曲江一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请在△ABC内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为∠C，其余顶点落在△ABC的边上；
问题探究
（2）如图，△ABC为一块锐角三角形木板，其中BC＝10，S_△ABC＝25．
如图2，若要在△ABC中做出一个正方形，使正方形边落在BC上，另外两个顶点分别落在AB，AC上，则该正方形的面积为　　．
如图3，若要在△ABC中做出一个平行四边形，使平行四边形一边EF落在BC上，另两顶点落在AB，AC上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
问题解决
（3）如图4有一四边形ABCD，AC与BD交于O，AC＝10，BD＝20，∠AOB＝60°，现要在ABCD中截出平行四边形EFGH，使得平行四边形一边EF与BD平行，四个顶点E，F，G，H落在ABCD的四边上，当S_▱EFGH＝

S_{四边形ABCD}时EF＝　　．

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25

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185129. （2025•铁一中学•八下期中）（1）阅读材料：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，△ACE是等边三角形，M为△ABC内任意一点，连接CM，将CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接EN、AM、BM．
①△CMN的形状是；
②AM+BM+CM是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地ABCD建设口袋公园，四个顶点A、B、C、D为公园入口，公园内有两个凉亭E、F，为方便市民散步，需修建健身步道连接AE、BE、EF、DF、CF．为节约建设成本，应将E、F修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？
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共享时间:2025-05-10 难度:1 相似度:1.25

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179977. （2024•航天中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE=90°，连接BE，若AD=2，BD=5，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）为了开展劳动实践教育，培养科学素养，实现多维学科融合．某校规划了一块如图3所示的四边形生物科学基地ABDC，经测量：∠ABC=90°，AB=BC，∠BDC=45°．连接AD，将基地分成两部分种植不同的植物，若△ACD的面积为8平方米，则线段CD的长度为多少？
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共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.25

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185226. （2025•西工大附中•八下期中）问题发现
（1）如图①，已知边长为4的等边△ABC，AE是△ABC的中线，点D为AC的中点，点P为AE上一动点，则PC+PD的最小值为　；
问题探究
（2）如图②，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝135°，连接AC，且CD＝20，AC＝26，求BC的长；
问题解决
（3）某公园规划一个四边形花园ABCD，如图③，其面积为