初步探究如图为等腰直角三角形点为边上一点以为边作等腰直角三角形且连接若求的面积深入探究如图正方形为一个艺术演艺规划区域在正方形内部或边上作如下规划点为入口点为中点点在边上为演员化妆区点在上点在上等边为表演舞台和为观看区域请问观看区

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274072. （2024•师大附中•八模）（1）初步探究：
如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为边BC上一点，以AD为边作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，连接CE．若BD＝2，

，求△CDE的面积．
（2）深入探究：
如图2，正方形ABCD为一个艺术演艺规划区域，AB＝80m．在正方形ABCD内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为AD中点，点F在边CD上，△DEF为演员化妆区，

，点P在AB上，AP＝20m，点Q在EF上，等边△PQI为表演舞台，△APQ和△BPI为观看区域．请问观看区域△APQ和△BPI面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由．

共享时间:2024-06-10 难度:4

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[考点]

全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形的应用，

[校正]

[答案]

（1）S_△CDE

＝6；

（2）观看区域△APQ和△BPI面积之和为定值；定值为

．

[解析]

解：（1）∵△ABC、△ADE为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4

，AD＝AE，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠B＝45°
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝45°+45°＝90°，
又∵BC＝

＝

＝8，
∴DC＝BC﹣BD＝8﹣2＝6，
∴S_△CDE＝

DC•CE＝

×6×2＝6；
（2）观看区域△APQ和△BPI面积之和为定值；理由如下：
作IR⊥AB交AB于点R，作QN⊥RN交RI的延长线于点N，作QM⊥AB交AB于点M，作PH⊥QI交QI于点H，过点H作HK⊥AB交AB于点K，作QJ⊥AD交AD于点J，延长KH交QN于点T，如图所示：

∴∠AMQ＝∠AJQ＝∠ARI＝∠QNR＝∠HKP＝90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形AMQJ是矩形，四边形AKTJ是矩形，四边形ARNJ是矩形，
∴AJ＝MQ＝KT＝RN，AM＝JQ，AK＝JT，∠JTK＝∠JNR＝90°，
∴AK﹣AM＝JT﹣JQ，
∴MK＝QT，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝80m，AP＝20m，
∴AD＝80m，BP＝AB﹣AP＝80﹣20＝60（m），
∵点E为AD中点，
∴AE＝

AD＝40m，
∵tan∠DEF＝

，
∴

＝

，
设JQ＝5

x＝AM，EJ＝9x，
∴AJ＝AE+EJ＝40+9x＝MQ＝KT＝RN，PM＝AP﹣AM＝20﹣5

x，
∵△PQI是等边三角形，PH⊥QI，
∴∠PIQ＝60°＝∠QPI，∠HPI＝∠HPQ＝

∠QPI＝30°，QH＝HI＝

QI，
∴tan∠QPH＝

＝tan∠30°＝

，
即

＝

，
∵∠PHK+∠QHT＝180°﹣∠PHQ＝180°﹣90°＝90°，∠HPK+∠PHK＝180°﹣∠PKH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠QHT＝∠HPK，
又∵∠HKP＝∠HTQ＝90°，
∴△PKH∽△HTQ，
∴

＝

，
设HT＝y，则PK＝

y，
∵∠QTH＝∠JNR＝90°，
∴HT∥IN，
∴△OHT∽△OIN，
∴

＝

，
∴IN＝2HT＝2y，
∵KT＝40+9x＝RN＝MQ，
∴KH＝KT﹣HT＝40+9x﹣y，RI＝RN﹣IN＝40+9x﹣2y，
∴TQ＝

＝

，
∵MK＝MP+PK＝20﹣5

y，MK＝QT，
∴

＝20﹣5

y，
∴6x﹣y＝5

﹣10，
∵S_△APQ＝

AP•QM＝

×20×（40+9x）＝400+90x，S_△BPI＝

PB•RI＝

×60×（40+9x﹣2y）＝1200+270x﹣60y，
∴S_△APQ+S_△BPI＝400+90x+1200+270x﹣60y＝1600+360x﹣60y＝1600+60（6x﹣y），
∴S_△APQ+S_△BPI＝1600+60×（5

﹣10）＝（1000+300

）m²，
∴观看区域△APQ 和△BPI面积之和为定值，定值为

．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形的应用，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

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$德优题库$

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$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.5

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