问题探究三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形如图中正方形的顶点在上顶点在上请以点为位似中心作的内接正方形不写作法如图中于点请以点为位似中心作的内接正方形并求出所作正方形的面积不写作法问题解决如图将中的翻折得到四边形对角线相交于点请以点为位似中心作正方形使得点

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19254. （2016•西工大附中•模拟）问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，正方形MNFE的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．
（2）如图2，△ABC中，BC＝12，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，AD＝8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）．
问题解决
（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于点D，请以点D为位似中心作正方形MNPQ，使得点M、N、P、Q在四边形ABEC的各边上．
要求：①写出作法，证明四边形MNPQ是正方形；
②求出正方形MNPQ的面积．

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[考点]

相似三角形的判定与性质，位似变换，正方形的判定与性质，四边形综合题，

[校正]

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）如图1中，请以点B为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′F′E′如图所示．

（2）如图2中，以点D为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′E′F′如图所示．

正方形MNFE的顶点M、F在BC上，且DM＝2DF．延长DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延长DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即为所求．
设正方形M′N′E′F′的边长为x，
∵N′E′∥BC，
∴△AN′E′∽△ABC，
∴

＝

，
∴x＝

，
∴正方形M′N′E′F′的面积为

．

（3）如图3中，

作正方形M′N′P′Q′，使得M′N′∥AD，MN交BC于R，P′Q′交BC于T，且RN′＝RM′，RD＝2DT，延长DP′交AC于P，延长DN′交AB于N，延长DM′交BE于M，延长DQ′交EC于Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ即为所求．设PQ交BC于G，MN交BC于H．
由题意AB＝AD＝8，DC＝4，
∴AD＝2DC，
∵△BCE是由△ABC翻折得到，RN′＝RM′，TP′＝TQ′，
∴根据对称性可知，PQ∥AE∥MN，
∵P′T：DT＝3：2，
∴PG：DG＝3：2，
∵PG：GC＝AD：DC＝2：1，
∴AP：PC＝DG：GC＝4：3，同理可证AN：BN＝4：3，
∴AN：BN＝AP：PC，
∴PN∥BC，同理可证MQ∥BC，
∴四边形MNPQ是平行四边形，易知∠MNP＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵P′N′∥PN，P′Q′∥PQ，
∴P′N′：PN＝DP′：DP＝P′Q′：PQ，
∵P′N′＝P′Q′，
∴PN＝PQ，
∴四边形MNPQ是正方形．设边长为a，
∵PN∥BC，
∴△ANP∽△ABC，
∴

＝

，
∴a＝

∴正方形M′N′E′F′的面积为

．

[点评]

本题考查了"正方形的判定与性质四边形综合题相似三角形的判定与性位似变换 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23874. （2021•益新中学•九上期末）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC=12，求出矩形DEFG的面积． $德优题库$

共享时间:2021-02-07 难度:5 相似度:1.5

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284119. （2023•西工大附中•三模） $德优题库$ 小延想要测量学校教学楼AB的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆DE的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆DE的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离MN=FG=1.6米，NG=2米，GE=6米，BE=8米，AC=3米，MN、FG、DE、AB均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼AB的高度．

共享时间:2023-04-04 难度:1 相似度:1.25

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244330. （2023•曲江一中•九上期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若AB＝2，BE＝

，请直接写出△APE的面积．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.25

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284325. （2023•铁一中学•二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
（1）如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为；
（2）如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
（3）如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-03-16 难度:1 相似度:1.25

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284789. （2022•高新一中•八模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝

cm．动点P在边AB上从点A向点B运动，速度为1cm/s；过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm²）．
（1）当x＝　　 s时，点Q与点C重合；
（2）①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②在点P的运动过程中，是否存在y的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-06-11 难度:1 相似度:1.25

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.25

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287303. （2020•师大附中•九模）问题提出
（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB=60°（只作出满足条件一个图形即可）；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=10，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2020-06-15 难度:1 相似度:1.25

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288081. （2018•爱知中学•二模）知识运用：
（1）如图1，已知正方形ABCD，请用直尺和圆规作以BC为边的等边三角形BCP，使得点P在正方形ABCD的内部（保留作图痕迹）；
知识探究：
（2）如图2，小明画出了图1的正方形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在正方形ABCD中把△PBC经过图形变化（旋转后放大），可以得到图2中的更大的等边三角形．请你通过合理的图形变化，在图3的正方形纸片中画出面积最大的等边三角形BEF（点E、F不能在正方形外），当图3正方形ABCD的边长为1时，求等边三角形BEF的最大边长．
知识应用：
（3）某单位现有一块建筑用地，其形状为Rt△ABC（如图3），其中∠A=90°，AC=3，AB=4．因工作需要，单位要求承建方将此三角形ABC用地扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地），要求原来位于A、B、C三个顶点的三棵树在正方形的内部或边上．为了节省费用，建筑方想让这个正方形尽可能的小，请你在图中画出扩建后满足条件的面积最小的正方形，并求出该正方形的最小面积．
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共享时间:2018-03-21 难度:1 相似度:1.25

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212398. （2025•交大附中•一模）数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下：
【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB=40cm,AD=80cm,取AD边上一点E，ED=30cm,请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F，连接EF，使得线段EF平分矩形ABCD的面积，则线段EF的长为 cm.
【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O，点M和点N是线段EF上两点，且OM=ON=10cm（M在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段BC上找一点P，连接PM和PN，使得∠MPN角度最大，请帮兴趣小组计算，当∠MPN角度最大时，sin∠MPN的值．
【任务三】在任务二的结论下，线段EF的左侧是否存在点Q，连接QM和QN，使得∠MQN=∠MPN，且满足四边形QNPM的面积最大，若存在，求出四边形QNPM的面积最大值；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.25

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244229. （2023•师大附中•八下期末）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C₁处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13，CN=5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF-PD=3，请直接写出△ABC的面积．
$德优题库$

共享时间:2023-07-10 难度:1 相似度:1.25

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275870. （2024•二十六中•三模）【问题提出】（1）如图1，在直线AB上找一点P，使得点P到C，D的距离之和最小；
【问题探究】（2）如图2，已知点D是△ABC边BC上一点，AB=4，BC=8，AC=CD=6．求AD的长；
【问题解决】（3）如图3，在一块边长为40米的正方形ABCD的花园中，点P是内部一点，为了有好的欣赏效果，设计者在PA，PD，PC之间修三条小路（宽度不计），将花园分为三部分种植不同的花卉．根据调查可知修路PC每米200元，修路PD每米100元，修路PA每米100元．测得PA长为20米．设计者想知道修三条小路的费用是否有最小值，若有，求出最小值，若没有，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-04-04 难度:1 相似度:1.25

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274880. （2024•西工大附中•九模）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在边BC上．连接AP，过点P作PQ⊥AP．求AQ的最小值；
（2）如图②，矩形ABCD是某公园示意图，其中AB＝600米，BC＝800米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边DC的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即Rt△CDE，且∠CED＝90°，同时要在扩建后的五边形公园ABCED中的边BC上开一个门F，使得点F到点A、点E的距离相等且∠AFE＝90°．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分△CDE的面积及点F到点B的距离；若不能，请说明理由．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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279591. （2023•师大附中•四模）问题情境
如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠BCD=90°，∠ADB=30°，∠BDC=45°，AB=2，点E为AD的中点，连接CE．以点D为中心，顺时针旋转△DEC，得到△DGF，点E，C的对应点分别为点G，F．
问题探究
（1）如图①，则CE的长为；
（2）如图②，在△DFG旋转过程中，当B，F，G三点共线时，求△ABF的面积；
（3）如图③，在△DFG旋转过程中，连接AF，AG，直接写出△AFG面积的最大值．
$德优题库$

共享时间:2023-04-27 难度:1 相似度:1.25

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287658. （2019•益新中学•三模）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD＝BF；
（2）若CF＝1，

＝

，求⊙O的半径．

共享时间:2019-04-08 难度:1 相似度:1.25

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287660. （2019•益新中学•三模）问题提出
（1）如图1点C为线段AB外一点，且AB=8，AC=7，那么线段BC长的最大值是，最小值是．
问题探究
（2）如图2点C为线段AB外一点，已知AB=8，AC=7，点D，点E分别是△CAB外两点且△DAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，△CBE是以CE为斜边的等腰直角三角形，连接AE、BD，试探究线段AE的最大值？
问题解决
（3）某湿地公园利用河流荒滩建立野生动物园，经过测量湿地是一大块四边形ABCD，其中BA=BC，∠ABC=90°．边AD长24千米，CD长18千米，为了方便照顾好园区的动物，规划部门要求要经过BD修建一条笔直的公路且最长的公路，你能帮助计算出最长公路和此时动物园占地面积吗？ $德优题库$

共享时间:2019-04-08 难度:1 相似度:1.25

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xgd513

2016-06-06

初中数学 | | 解答题

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2016年陕西省西安市西工大附中中考数学四模试卷

更新:2016-06-06 06:06浏览量:551

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