问题探究三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形如图中正方形的顶点在上顶点在上请以点为位似中心作的内接正方形不写作法如图中于点请以点为位似中心作的内接正方形并求出所作正方形的面积不写作法问题解决如图将中的翻折得到四边形对角线相交于点请以点为位似中心作正方形使得点

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19254. （2016•西工大附中•模拟）问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，正方形MNFE的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．
（2）如图2，△ABC中，BC＝12，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，AD＝8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）．
问题解决
（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于点D，请以点D为位似中心作正方形MNPQ，使得点M、N、P、Q在四边形ABEC的各边上．
要求：①写出作法，证明四边形MNPQ是正方形；
②求出正方形MNPQ的面积．

共享时间:2016-06-06 难度:5

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相似

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[考点]

相似三角形的判定与性质，位似变换，正方形的判定与性质，四边形综合题，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）如图1中，请以点B为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′F′E′如图所示．

（2）如图2中，以点D为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′E′F′如图所示．

正方形MNFE的顶点M、F在BC上，且DM＝2DF．延长DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延长DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即为所求．
设正方形M′N′E′F′的边长为x，
∵N′E′∥BC，
∴△AN′E′∽△ABC，
∴

＝

，
∴x＝

，
∴正方形M′N′E′F′的面积为

．

（3）如图3中，

作正方形M′N′P′Q′，使得M′N′∥AD，MN交BC于R，P′Q′交BC于T，且RN′＝RM′，RD＝2DT，延长DP′交AC于P，延长DN′交AB于N，延长DM′交BE于M，延长DQ′交EC于Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ即为所求．设PQ交BC于G，MN交BC于H．
由题意AB＝AD＝8，DC＝4，
∴AD＝2DC，
∵△BCE是由△ABC翻折得到，RN′＝RM′，TP′＝TQ′，
∴根据对称性可知，PQ∥AE∥MN，
∵P′T：DT＝3：2，
∴PG：DG＝3：2，
∵PG：GC＝AD：DC＝2：1，
∴AP：PC＝DG：GC＝4：3，同理可证AN：BN＝4：3，
∴AN：BN＝AP：PC，
∴PN∥BC，同理可证MQ∥BC，
∴四边形MNPQ是平行四边形，易知∠MNP＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵P′N′∥PN，P′Q′∥PQ，
∴P′N′：PN＝DP′：DP＝P′Q′：PQ，
∵P′N′＝P′Q′，
∴PN＝PQ，
∴四边形MNPQ是正方形．设边长为a，
∵PN∥BC，
∴△ANP∽△ABC，
∴

＝

，
∴a＝

∴正方形M′N′E′F′的面积为

．

[点评]

本题考查了"正方形的判定与性质四边形综合题相似三角形的判定与性位似变换 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23874. （2020•益新中学•九上期末）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC=12，求出矩形DEFG的面积． $德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:5 相似度:1.5

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199189. （2022•交大附中•八下期中）（1）如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S_△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为　　．
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝

，PC＝4．求∠APB的度数．
（3）如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S_△PAD＝2S_△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-05-14 难度:1 相似度:1.25

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185374. （2024•高新一中•七下期中）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，作BD⊥l于D，CE⊥l于E．
$德优题库$
（1）当直线l在∠BAC外部时（图（a）），求证：BD+CE=DE；
（2）当直线l在∠BAC内部时（图（b）），猜想线段BD，CE与DE之间又有怎样的关系．证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若BD=6，CE=4，求四边形ABEC的面积．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.25

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181160. （2023•爱知中学•月考）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
$德优题库$

共享时间:2022-12-01 难度:1 相似度:1.25

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181186. （2023•爱知中学•九上四月）（1）如图1，∠ABC＝90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE＝4，BE＝2，BF＝3，求CF的长度为　　．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF＝90°，AM＝2，当BE+BF＝9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF＝α且

，若BF＝8，求BE的长度．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.25

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181324. （2024•未央区•七下二月）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，已知BC=6，P为边BC上一动点，S_△ABC=6，则AP的最小值为．
问题探究
（2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题；如图2，正方形ABCD的边长为4，E为DC的中点，P为对角线BD上的动点，F为BC上的动点，请求出PE+PF的最小值．请你解决小哲提出的问题．
问题解决
（3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地ABCD，公园管理部门在△ACD内规划设置体育锻炼区域，在△ABC内设置合唱团训练区域，在BD处修建养生小路，要求BD尽可能的长，其中AB=10m,BC=16m,AD=AC，∠CAD=60°．已知铺设小路 BD的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱．
$德优题库$

共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:1.25

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181373. （2024•经开一中•八下一月） $德优题库$ 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图1，若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=65°，∠B=80°，则∠C的度数为 °．
（2）如图2，“等对角四边形”ABCD，已知：∠ABC=∠ADC，BC=CD，你认为AB=AD成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
（3）在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7，AD=5．求对角线AC的长．

共享时间:2024-04-18 难度:1 相似度:1.25

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181469. （2024•铁一中学•七下二月）【初步探究】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．
①由题中条件判断BD与CE的数量关系：BD CE；
②BD与EC是否存在特殊的位置关系？请你证明．
【灵活运用】
（2）将△ADE绕点A旋转至如图2所示位置，连接BD、CE．在（1）中的结论下，若AB=3，AE=5，四边形BCDE的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:1.25

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181494. （2024•铁一中学•八下一月）综合与实践
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°，连接AC．若点E、F分别在边BC，CD上，且BE=CF．
①求证：△AEF是等边三角形；
②若AC=6，求四边形AECF的面积；
（2）某小区有一块四边形空地，如图②，经测量：AB=AD=8m,AC=10m,∠BCD=120°，∠BAD=60°，物业决定在此规划花园，以△ABD和△BCD为大致轮廓种植月季和薰衣草，如图③，为了观赏方便，物业决定过点E规划三条路线，分别为EC、EF、EG（宽度忽略不计），其中CE⊥BD，EF⊥AB，EG⊥AD，求三条路线的距离之和．
$德优题库$

共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:1.25

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181543. （2023•曲江一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请在△ABC内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为∠C，其余顶点落在△ABC的边上；
问题探究
（2）如图，△ABC为一块锐角三角形木板，其中BC＝10，S_△ABC＝25．
如图2，若要在△ABC中做出一个正方形，使正方形边落在BC上，另外两个顶点分别落在AB，AC上，则该正方形的面积为　　．
如图3，若要在△ABC中做出一个平行四边形，使平行四边形一边EF落在BC上，另两顶点落在AB，AC上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
问题解决
（3）如图4有一四边形ABCD，AC与BD交于O，AC＝10，BD＝20，∠AOB＝60°，现要在ABCD中截出平行四边形EFGH，使得平行四边形一边EF与BD平行，四个顶点E，F，G，H落在ABCD的四边上，当S_▱EFGH＝

S_{四边形ABCD}时EF＝　　．

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25

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181568. （2024•曲江一中•八下二月）【问题提出】
（1）如图1，点D是△ABC边BC的中点，则S_△ABD S_△BCD（填“＞、＜、=”，下同）．
如图2，直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则S_△ABC= S_△ABF；
【问题探究】
（2）如图3，点D是△ABC边AC上一定点，使用三角板在BC上作出点E，使得线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，四边形ABCD是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量AB=6米，AD=30米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．
$德优题库$

共享时间:2024-06-21 难度:1 相似度:1.25

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185129. （2025•铁一中学•八下期中）（1）阅读材料：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，△ACE是等边三角形，M为△ABC内任意一点，连接CM，将CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接EN、AM、BM．
①△CMN的形状是；
②AM+BM+CM是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地ABCD建设口袋公园，四个顶点A、B、C、D为公园入口，公园内有两个凉亭E、F，为方便市民散步，需修建健身步道连接AE、BE、EF、DF、CF．为节约建设成本，应将E、F修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？
$德优题库$

共享时间:2025-05-10 难度:1 相似度:1.25

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185226. （2025•西工大附中•八下期中）问题发现
（1）如图①，已知边长为4的等边△ABC，AE是△ABC的中线，点D为AC的中点，点P为AE上一动点，则PC+PD的最小值为　；
问题探究
（2）如图②，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝135°，连接AC，且CD＝20，AC＝26，求BC的长；
问题解决
（3）某公园规划一个四边形花园ABCD，如图③，其面积为

平方米，设计一条观赏路BD将花园分成两部分，分别种植不同的花卉，根据设计要求，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，由于地形需要，计划在其四周围上护栏，公园已有长度为（80

﹣60）米的护栏恰好全部用于AB和BC处，AD与CD两处需购买新的护栏，若护栏20元/米，为了节约成本，求公园购买护栏的最少费用．（观赏路的宽度和护栏的厚度忽略不计）

共享时间:2025-05-18 难度:1 相似度:1.25

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185423. （2023•爱知中学•八上期中）在Rt△DEF中，DE＝DF，∠EDF＝90°，点E，D分别在长方形ABCO的边BC，CO上．

（1）如图1，当点F在OA上，且CE＝3，OF＝1时，则EF＝　；
（2）如图2，若EC＝CO，点D为线段CO上一动点（不包括端点），连接OF，求∠AOF的度数；
（3）如图3，若矩形ABCO中，OA＝5，OC＝4，在（2）的基础上，当BF取值最小时，求点D的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.25

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185399. （2024•高新一中•八下期中）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（BC除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S_{四边形ABCD}=32，求BD的长．
（3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=100米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，∠DAF=15°，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长．
$德优题库$

共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.25

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xgd513

2016-06-06

初中数学 | | 解答题

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2016年陕西省西安市西工大附中中考数学四模试卷

更新:2016-06-06 06:06浏览量:529

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