在三棱锥中给出下面四种说法若则在底面的射影为外心若则在底面的射影为的垂心若与底面所成的角相等则在底面的射影为的重心三个侧面与底面所成二面角相等则在底面的射影为的内心其中所有正确说法的序号是

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232716. （2024•高新一中•高一下二月）在三棱锥S﹣ABC中，给出下面四种说法：
①若SA＝SB＝SC，则S在底面的射影为△ABC外心；
②若SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥SC，则S在底面的射影为△ABC的垂心；
③若SA，SB，SC与底面所成的角相等，则S在底面的射影为△ABC的重心；
④三个侧面SAB，SBC，SAC与底面所成二面角相等，则S在底面的射影为△ABC的内心．
其中所有正确说法的序号是　．

共享时间:2024-06-11 难度:3

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[考点]

三角形五心，几何法求解直线与平面所成的角，几何法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

①②④．

[解析]

解：设S在底面所在平面内的射影为O，连接OA，OB，OC，

若SA＝SB＝SC，则Rt△SOA，Rt△SOB，Rt△SOC全等，
所以OA＝OB＝OC，
所以O为△ABC的外心，故①正确；
若SA，SB，SC与底面所成的角相等，
即∠SAO＝∠SBO＝∠SCO，则Rt△SOA，Rt△SOB，Rt△SOC全等，
所以OA＝OB＝OC，
所以O为△ABC的外心，故③错误；
若SA⊥SB，SA⊥SC，SB∩SC＝S，
则SA⊥平面SBC，故SA⊥BC，
又因为SO⊥平面ABC，
所以SO⊥BC，又SA∩SO＝S，
所以BC⊥平面SOA，所以BC⊥OA，
同理AC⊥OB，BC⊥OA，
所以O为△ABC的垂心，故②正确；
三个侧面SAB，SBC，SAC与底面所成二面角相等，
在底面内过O作BC，CA，AB的垂线，垂足分别为D，E，F，连接SD，SE，SF，

因为BC⊥SO，BC⊥OD，SO∩OD＝O，
所以BC⊥平面SOD，因为SD⊂平面SOD，
所以SD⊥BC，
同理SE⊥AC，SF⊥AB，
故∠SDO，∠SEO，∠SFO为侧面与底面所成的二面角的平面角，
故∠SDO＝∠SEO＝∠SFO，故Rt△SDO，Rt△SEO，Rt△SFO全等，
故OD＝OE＝OF，故O为△ABC的内心，
故④正确．
故选：①②④．

[点评]

本题考查了"三角形五心，几何法求解直线与平面所成的角，几何法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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