已知函数为奇函数求实数的值判断在上的单调性并用定义证明若对于任意的不等式恒成立求实数的取值范围

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232244. （2023•铁一中学•高一上二月）已知函数

为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若对于任意的x∈[﹣2，2]，不等式f（t²﹣xt）+f（2t²﹣1）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

共享时间:2023-12-20 难度:3

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[考点]

函数的奇偶性，奇偶性与单调性的综合，函数恒成立问题，

[答案]

（1）a＝﹣2；

（2）增函数，证明见解析；

（3）

．

[解析]

解：（1）因为函数y＝f（x）为奇函数，定义域为R．
所以

，解得a＝﹣2，
经检验符合题意，故a＝﹣2．
（2）f（x）是R上的增函数．证明如下：
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂．
则

，
因为

，
所以

，
所以f（x₂）﹣f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）是R上的增函数．
（3）因为f（x）是R上的奇函数，且是R上的增函数，
故不等式f（t²﹣xt）+f（2t²﹣1）＜0等价于f（t²﹣xt）＜﹣f（2t²﹣1）＝f（1﹣2t²），
所以t²﹣xt＜1﹣2t²，即﹣t•x+3t²﹣1＜0，
令g（x）＝﹣tx+3t²﹣1，
则对∀x∈[﹣2，2]，g（x）＜0恒成立．
所以

，
解得：

，
所以实数t的取值范围为

．

[点评]

本题考查了"函数的奇偶性，奇偶性与单调性的综合，函数恒成立问题，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169657. （2024•交大附中•高一上期末）已知函数

且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若对于任意的

恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:1.67

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167585. （2023•新城一中•高一上二月）已知函数

是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若x＞0时，关于x的不等式f（2x）≤mf（x）恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-12-13 难度:2 相似度:1.67

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169507. （2024•铁一中学•高一上期末）已知函数f（x）＝a﹣

为定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）（i）证明：f（x）为单调递增函数；
（ii）∀x∈（0，+∞），若不等式

＞0恒成立，求非零实数m的取值范围．

共享时间:2024-02-13 难度:2 相似度:1.67

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170215. （2023•高新一中•高一上期末）设f（x）＝

（m＞0，n＞0）是奇函数．
（1）求m与n的值；
（2）如果对任意x∈R，不等式f（2a+cos²x）+f（4sinx﹣

﹣7）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-02-12 难度:2 相似度:1.67

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170237. （2023•西安三中•高二下期末）已知函数f（x）＝3^x+（k﹣2）•3^﹣x（x∈R）为奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若对∀x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）+m•3^x≤6恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数g（x）＝λf（x）﹣（3^x+3^﹣x）²﹣5在[1，+∞）上有零点，求实数λ的取值范围．

共享时间:2023-07-07 难度:2 相似度:1.67

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170444. （2022•长安区一中•高二上期末）函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，g（x）＝1﹣e^x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:1.67

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170972. （2024•曲江二中•高一上期中）已知函数

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）若f（x）≤m²﹣5mt﹣5对于任意的x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-11-24 难度:3 相似度:1.34

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169992. （2023•西工大附中•高一上期末）已知函数

是奇函数，且f（1）＝2．
（1）求a，b的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．

共享时间:2023-02-20 难度:3 相似度:1.34

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171086. （2024•碑林区•高一上期中）已知函数

是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且

．
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣3，3）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（t²﹣1）+f（1﹣4t）＜0，求t的取值范围．

共享时间:2024-11-15 难度:1 相似度:1.33

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168968. （2021•交大附中•四模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax﹣2|．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）当x∈[3，4]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2021-04-20 难度:1 相似度:1.33

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169613. （2024•滨河中学•高一下期末）已知函数y＝f（x）的定义域为R，实数a和b满足a＜b，若y＝f（x）在区间（a，b]上不存在最小值，则称y＝f（x）在（a，b]上具有性质P．
（1）若f（x）＝x²﹣2x，判断函数y＝f（x）在下列区间上是否具有性质P；①（0，2]；②（1，3]；
（2）若f（x+1）＝mf（x）+1对任意实数x都成立，当0＜x≤1时，f（x）＝x，若y＝f（x）在区间（0，2]上具有性质P，求实数m的取值范围；
（3）对于满足a＜b的任意实数a和b，y＝f（x）在区间（a，b]上都有性质P，且对于任意k∈Z，当x∈（k，k+1）时，均满足