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232235. （2023•铁一中学•高一上二月）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，y∈R都满足f（xy）＝yf（x）+xf（y），则下列说法正确的是（　　）

A.．f（0）＝0

B.．f（x）是奇函数

C.若f（3）＝3，则

D.若当x＞1时，f（x）＜0，则

在（0，+∞）单调递减

共享时间:2023-12-20 难度:1

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[考点]

抽象函数的周期性，

[答案]

ABD

[解析]

解：因为f（xy）＝yf（x）+xf（y），
所以令x＝y＝0，得f（0）＝0，故A正确；
令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝0，
令x＝y＝﹣1，得f（1）＝﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），
所以f（﹣1）＝0，令y＝﹣1，得f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1），又f（﹣1）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），又因为定义域为R，所以函数f（x）是奇函数，故B正确；
令

，得

，
又f（1）＝0，f（3）＝3，所以

，故C错误；
当x，y≠0时，由f（xy）＝yf（x）+xf（y），
可得

，又

，
∴g（xy）＝g（x）+g（y），在（0，+∞）上任取x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
∴

＝

＝

，
∵0＜x₁＜x₂，∴

，∴

，
故g（x₁）＞g（x₂），∴

在（0，+∞）单调递减，故D正确．
故选：ABD．

[点评]

本题考查了"抽象函数的周期性，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

233357. （2022•西工大附中•高一上二月）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x²+x+a﹣2，则（　　）

A.a＝2

C.．f（2）＝2

B.f（x）是增函数

D.．f（﹣3）＝﹣12

共享时间:2022-12-20 难度:2 相似度:1.5

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232369. （2023•铁一中学•高二上二月）已知非常数函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（2﹣x）为奇函数，f（2x+4）为偶函数，则（　　）

A.f（2）＝1

C.．f（2024）＝﹣f（2020）

B.．f′（﹣1）＝f′（7）

D.f′（﹣2021）＝f′（2025）

共享时间:2023-12-18 难度:3 相似度:1.33

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2023-12-20

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更新:2023-12-20 01:23浏览量:15