如图平面直角坐标系中抛物线交轴于两点交轴于点点是线段上一个动点过点作轴的垂线交直线于点交抛物线于点求抛物线的解析式当线段长度最大时求点的坐标如图是否存在点使得若存在求点的坐标若不存在请说明理由

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173601. （2024•铁一中学•九上二月）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段EF长度最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在点E，使得tan∠FCE＝3，若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-12-20 难度:5

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[考点]

二次函数综合应用，

[校正]

[答案]

（1）y＝﹣x²﹣2x+3；

（2）当线段EF长度最大时，M点的坐标为（﹣

，0）；

（3）存在点E，使得tan∠FCE＝3，点E的坐标为（﹣

，

）．

[解析]

解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax²+bx+c得：

，
解得

，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x²﹣2x+3；
（2）由B（﹣3，0），C（0，3）可得直线BC的解析式为y＝x+3，
设M（m，0），则E（m，﹣m²﹣2m+3），F（m，m+3），其中﹣3≤m≤0，
∴EF＝﹣m²﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m²﹣3m＝﹣（m+

）²+

，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣

时，EF取最大值

，
∴当线段EF长度最大时，M点的坐标为（﹣

，0）；
（3）存在点E，使得tan∠FCE＝3，理由如下：
过E作EH⊥BC于H，如图：

设E（x，﹣x²﹣2x+3），则F（x，x+3），其中﹣3≤x≤0，
∴EF＝﹣x²﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x²﹣3x，
∵C（0，3），
∴CF＝

＝﹣

x，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵EM⊥AB，
∴∠BFM＝45°＝∠EFH，
∵EH⊥BC，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EH＝FH＝

＝

＝﹣

x²﹣

x，
∴CH＝CF﹣FH＝﹣

x﹣（﹣

x²﹣

x）＝

x²+

x，
∵tan∠FCE＝3，
∴

＝3，即EH＝3CH，
∴﹣

x²﹣

x＝3（

x²+

x），
解得x＝0（不符合题意，舍去）或x＝﹣

，
∴﹣x²﹣2x+3＝﹣（﹣

）²﹣2×（﹣

）+3＝

；
∴点E的坐标为（﹣

，

）．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

256697. （2025•铁一湖滨中学•模拟）如图，抛物线y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PBD的面积；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-03-05 难度:3 相似度:2

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196658. （2024•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
（1）直接写出以下各点坐标：
A ，B ，C ，M ．
（2）若点P为x轴上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

共享时间:2024-02-18 难度:5 相似度:2

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210785. （2025•曲江一中•四模） $德优题库$ 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），D是顶点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图2，连接AC、DC、AD，在直线AC上方的抛物线上是否存在一点E，使得△ACE的面积等于△ACD的面积的2倍，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-26 难度:5 相似度:2

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210577. （2025•师大附中•三模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段MN表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点A处安装一个装饰灯，图中∠BAC与抛物线围成的区域是灯的光照范围，∠BAC的度数可以调节．以MN所在直线为x轴，以过点A垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知此拱门的最高点与MN的距离是2米，点A到MN的距离为1米，点A与拱门最高点的水平距离也是1米，点B，C均在此抛物线型拱门上．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）根据设计要求，点B的横坐标为m,点C的横坐标为2m（m＞0），∠BAC的一边需要与x轴平行．问，是否存在满足要求的点B和点C？若存在，请求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-04-11 难度:5 相似度:2

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210551. （2025•师大附中•四模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在第一象限时，过点P作PE⊥x轴于点E，与线段BC交于点D，是否存在点P，使得△CDP与△BOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-22 难度:5 相似度:2

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210525. （2025•师大附中•五模）在平面直角坐标系中，将抛物线C₁：

平移后得到的新抛物线C₂，抛物线C₂经过点

和点B（5，0）．
（1）求抛物线C₂的表达式，并写出平移方式；
（2）已知点C为抛物线C₂的顶点，点P是y轴上一点，在C₂上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-05 难度:5 相似度:2

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197820. （2024•铁一中学•九上期中）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线表达式；
（2）若点M是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BM、CM，求△BCM面积最大时点M的坐标；
（3）若点D是x轴上的动点，点E是抛物线上的动点，是否存在以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由. $德优题库$

共享时间:2024-11-16 难度:5 相似度:2

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197546. （2024•高新陆港•九上期中） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0）交y轴于点B，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，是否存在这样一点P，使得以P、A、M为顶点的三角形和△COM相似，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．

共享时间:2024-11-22 难度:5 相似度:2

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197064. （2023•高新一中•九上期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于B，C两点（B点在C点的左侧），与y轴交于点A，抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标及对称轴l．
（2）M为l上一动点，N为抛物线上一动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M、N、O、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-02-26 难度:5 相似度:2

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197062. （2023•高新一中•九上期末）如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN=6dm,抛物线顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；
（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-02-26 难度:5 相似度:2

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196947. （2024•交大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B．
（1）求经过B，O，A三点的抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-02-20 难度:5 相似度:2

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196309. （2024•高新一中•九上期末）已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．若∠PMN=∠CAO，求出点P的坐标．

共享时间:2024-02-28 难度:5 相似度:2

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210915. （2025•逸翠园中学•七模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数

的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
（1）求点A、P的坐标；
（2）连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．