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科学研究表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100）| 心率x（次/分） | 60≤x＜70 | 70≤x＜80 | 80≤x＜90 | 90≤x≤100 |
| 频数 | 5 | 6 | 5 | 4 |
| 各组平均心率（次/分） | 64 | 75 | 86 | 95 |
| 平均数 | 中位数 | 方差 | |
| 听音乐前 | a | 78 | 124.5 |
| 听音乐时 | 73 | 73.5 | 99 |
＝79（次/分），
某校生物兴趣小组在研究豌豆植株的生长高度规律时，从试验田中随机选取了20株豌豆植株，测量了它们的生长高度h（单位：cm）．其中，豌豆植株生长高度为45≤h＜50的数据是：45.2，45.8，46，46.4，46.5，46.8，47.1，47.3，47.9，48，对测量数据进行整理，并绘制了如下统计图表：| 生长高度h/cm | 组内平均数/cm |
| 30≤h＜35 | 32 |
| 35≤h＜40 | 37.3 |
| 40≤h＜45 | 42.5 |
| 45≤h＜50 | 46.7 |
| 50≤h≤55 | 53.5 |
阅读有助于提高学生的综合素养．为了解某市初中生周末阅读课外书情况，在全市范围内随机抽取部分初中生进行调查，并将调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表：| 组别 | 阅读时间x（时） | 频数 |
| A | 0.5≤x＜1.5 | a |
| B | 1.5≤x＜2.5 | 100 |
| C | 2.5≤x＜3.5 | 160 |
| D | 3.5≤x＜4.5 | b |
| E | 4.5≤x＜5.5 | 40 |
我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下：| 40秒内垫球个数（x） | x≤20 | 20＜x≤30 | 30＜x≤40 | 40＜x≤45 | x＞45 |
| 频数（男生） | 2 | 10 | a | 9 | 10 |
| 频数（女生） | 1 | 8 | b | 14 | 5 |
| 等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
| 频数（人数） | 40 | 70 | 60 | 30 |
| 平均数 | 中位数 | 优秀率 | 及格率 |
| 222.5 | 228 | p | 85% |
| 平均数 | 中位数 | 优秀率 | 及格率 |
| 218.7 | 223 | 19% | 84% |
在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：望向屏幕中心P（AP=BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP=20°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2），观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD=45°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为30cm.求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果保留一位小数．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
| 组别 | “劳动时间”t/分钟 | 频数 | 组内学生的平均“劳动时间”/分钟 |
| A | t＜60 | 8 | 50 |
| B | 60≤t＜90 | 16 | 75 |
| C | 90≤t＜120 | 40 | 105 |
| D | t≥120 | 36 | 150 |
2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．| 组别 | 分组x（万元） | 频数（户） | 每组平均收入（万元） |
| A | 6.5≤x＜7.5 | 4 | 7 |
| B | 7.5≤x＜8.5 | 5 | 8.3 |
| C | 8.5≤x＜9.5 | m | 9 |
| D | 9.5≤x＜10.5 | 3 | 9.5 |
| 组别 | 成绩分组（单位：分） | 频数 | 频率 |
| A | 50≤x＜60 | 3 | 0.06 |
| B | 60≤x＜70 | 0.24 | |
| C | 70≤x＜80 | 16 | b |
| D | 80≤x＜90 | a | |
| E | 90≤x＜100 | 8 | 0.16 |
我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．| 组别 | 家庭月均用水量（单位：吨） | 频数 | 组内平均数（单位：吨） |
| A | 2.0≤t＜3.4 | 7 | 2.5 |
| B | 3.4≤t＜4.8 | m | 4 |
| C | 4.8≤t＜6.2 | n | 5.5 |
| D | 6.2≤t＜7.6 | 6 | 7 |
| E | 7.6≤t＜9.0 | 2 | 8 |
| 合计 | 50 |
为提升学生学习数学的兴趣，加强学生的计算能力，初三年级组织了“计算达人养成记”活动，每日限时完成四道计算，为了解学生完成计算的用时情况，随机抽取一些同学完成某日计算，并统计用时，把所得数据绘制成如下统计图表，根据图表提供的信息，回答下列问题：| 组别 | 时间/分 | 人数 | 各组总用时/分 |
| A | x≤5 | 8 | 36 |
| B | 5＜x≤8 | 16 | 92 |
| C | 8＜x≤10 | m | 191 |
| D | x＞10 | 5 | 61 |
| 组别 | 停车时长x/分钟 | 组内平均停车时长/分钟 |
| A | 0＜x≤30 | 15 |
| B | 30＜x≤60 | 47 |
| C | 60＜x≤90 | 80 |
| D | 90＜x≤120 | 105 |
| E | x＞120 | 200 |
| 学校 | 平均分（分） | 方差 | 中位数（分） |
| 第一中学 | 73 | 432 | 80 |
| 第二中学 | 71 | 497 | 83 |
期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末数学成绩情况，决定对该年级学生期末考试数学考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：| 成绩（单位：分） | 频数 | 频率 |
| A类（80～100） | 0.5 | |
| B类（60～79） | 0.25 | |
| C类（40～59） | 16 | |
| D类（0～39） | 8 |
| 学校 | 平均分（分） | 方差 | 中位数（分） |
| 第一中学 | 73 | 432 | 80 |
| 第二中学 | 71 | 497 | 83 |
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2025-06-14
初中数学 | | 解答题
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解析
如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF=DE，BE=CF．求证：∠OEF=∠OFE．
