如图抛物线经过两点与轴交于点为轴上一点点关于直线的对称点为求抛物线的解析式当点在轴上方且的面积等于的面积时求点的坐标当点刚好落在第四象限的抛物线上时求出点的坐标点在抛物线上不与点重合连接是否存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形若存在请直接写出点的坐标若不存在请说明理由

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20862. （2020•高新一中•一模）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2020-06-18 难度:4

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[考点]

二次函数综合应用，三角形的面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）∵抛物线y＝x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）
∴

解得

，
∴抛物线解析式为：y＝x²﹣3x﹣4；
（2）∵抛物线y＝x²﹣3x﹣4与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
设点D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，
∴

×OB×y＝

OB×4，
∴y＝4，
∴点D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵点D关于直线BC的对称点为D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴点D'的纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x²﹣3x﹣4，
∴x₁＝0（舍去），x₂＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴点D（0，﹣1）
（4）若点D在点C上方，如图1，过点P作PH⊥y轴，

∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
设CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴点P（a，﹣4+2a）
∴a²﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合题意舍去），
∴点P（5，6）
若点D在点C下方，如图2，

∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x²﹣3x﹣4，
∴x₁＝0（舍去），x₂＝3，
∴点P（3，﹣4）
综上所述：点P（5，6）或（3，﹣4）．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用,三角形的面积,等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质",属于"综合题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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共享时间:2024-05-16 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2024-07-21 难度:2 相似度:1.5

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$德优题库$
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（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=5，AC=8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP：CP的值．

共享时间:2024-07-21 难度:2 相似度:1.5

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（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
$德优题库$