如图在平面直角坐标系中直线过第一象限内一点轴垂足为点在轴正半轴上连接作交轴于点问题提出如图当点在线段上时求证问题解决如图当点在延长线上点在轴正半轴上时之间的数量关系为当点在延长线上点在轴负半轴上时写出之间的数量关系并说明原因拓展延伸直线分别与直线直线交于点若则的长为

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197373. （2024•师大附中•八上期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x过第一象限内一点A，AD⊥y轴，垂足为D，点B在y轴正半轴上，连接AB，作AC⊥AB交x轴于点C．
问题提出
（1）如图1，当点B在线段OD上时，求证：AB=AC；
问题解决
（2）①如图2，当点B在OD延长线上，点C在x轴正半轴上时，OA、OB、OC之间的数量关系为；
②当点B在OD延长线上，点C在x轴负半轴上时，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明原因；
拓展延伸
（3）直线BC分别与直线AD、直线y=x交于点E、F，若BE=6，CF=8，则AB的长为．
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[考点]

一次函数综合应用，

[校正]

[答案]

（1）证明见解答；

（2）①OA＝

（OB+OC）；

②OA＝

（OB﹣OC），理由见解答；

（3）6

或4

或12

．

[解析]

（1）证明：如图1，过点A作AH⊥x轴于H，

∵直线y＝x过点A，
∴∠AOD＝∠AOH＝45°，
∵AD⊥OB，
∴AD＝AH，
∵∠DOH＝∠ADO＝∠AHO＝90°，
∴四边形ADOH是正方形，
∴∠DAH＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°＝∠DAH，
∴∠DAB＝∠HAC，
∴△ADB≌△AHC（ASA），
∴AB＝AC；
（2）解：①OA、OB、OC之间的数量关系为：OA＝

（OB+OC），
理由是：如图2，过点A作AH⊥x轴于H，

同理得：△ADB≌△AHC（ASA），
∴AB＝AC，BD＝CH，
∴OB+OC＝OD+BD+OH﹣CH＝2OD+BD﹣BD＝2OD，
∴OD＝

（OB+OC），
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝

OD＝

（OB+OC）；
故答案为：OA＝

（OB+OC）；
②OA、OB、OC之间的数量关系为：OA＝

（OB﹣OC），
理由是：如图3，过点A作AH⊥x轴于H，

方法同（1）得：四边形ADOH是正方形，△ADB≌△AHC（ASA），AB＝AC，BD＝CH，
∴OB﹣OD＝BD＝OC+OH＝CH，即OB﹣OC＝OD+OH＝2OD，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝

OD，
∴OB﹣OC＝2OD＝

OA，
即OA＝

（OB﹣OC）；
（3）解：分三种情况：
①当点B在线段OD上时，
如图4，将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF'，连接EF'，BF'＝CF＝8，

∠ACB＝∠ABC＝∠ABF'＝45°，∠CBF'＝∠ABC+∠ABF'＝90°，
∴∠EBF'＝90°，
∵BE＝6，
∴EF'＝10，
∵∠F'AO＝90°，∠FAE＝∠F'AE＝45°，AE＝AE，AF＝AF'，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF＝EF'＝10，BF＝EF﹣EB＝10﹣6＝4，BC＝BF+FC＝4+8＝12，
由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝

＝6

；
②当点B在OD的延长线上时，且点C在x轴的正半轴上，
如图5，同①，旋转△AFC到△AF'B，∠EBF'＝90°，EF'＝10＝EF，BC＝BE+EF+CF＝6+10+8＝24，
∴等腰直角三角形直角边AB＝

＝12

；

③当点B在OD的延长线上时，且点C在x轴的负半轴上，
如图6，过B作BF'⊥BE于点B，截取BF'＝CF＝8，连接EF'，AF'，

∵BE＝6，
∴∠ABF'＝∠ACF＝135°，EF'＝10，
∵AB＝AC，
∴△ABF'≌△ACF（SAS），
∴AF'＝AF，∠BAF'＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠F'AF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝45°＝∠EAF'，
∵AE＝AE，
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF＝EF'＝10，EC＝EF﹣CF＝10﹣8＝2，BC＝BE+EC＝2+6＝8，
∴AB＝

＝4

；
综上，AB的值为6

或4

或12

．
故答案为：6

或4

或12

．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

288282. （2018•交大附中•五模）问题探究
（1）如图①，在直角坐标平面内，M是边长为4的正方形ABCO边上一点（0，3）作一条直线，使它将正方形面积二等分；
（2）如图②，在直角坐标平面中，有A（1，4），B（4，0），请过点C（3，

）作一条直线将△ABO的面积二等分；
（3）农民张伯伯有一块四边形空地，如图③，四边形ABCD中，BC＝4km，∠BAD＝90°，∠ABC＝120°，张伯伯想过C点修条路将四边形ABCD面积等分为相等的两部分；若不存在，说明理由．

共享时间:2018-05-06 难度:5 相似度:2

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197745. （2024•西工大附中•八上期中） $德优题库$ 如图所示，在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，把△ABC沿AD折叠，使AC落在直线AB上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．

共享时间:2024-11-24 难度:5 相似度:2

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197699. （2024•高新一中•八上期中）（1）问题发现：如图1，将一个直角三角形纸片△ABO放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，4），点O（0，0）．将纸片沿AB翻折，得到点O的对应点为O′，则点O′的坐标是　　．
（2）问题探究：如图2，直线

与x轴、y轴的交点分别为A，B，若∠BAO的平分线与y轴交于点C，求OC的长．
（3）问题解决：设计师常常借助角平分线设计精美的作品．现有一块形状为四边形ABDC的设计图纸，如图3所示，已知四边形各顶点的坐标分别是A（8，0），B（﹣4，0），C（8，8），D（﹣4，12）．为了设计出图案，计划在这个四边形的边AB上找一点E，沿着CE，DE画出两条分割线，使得ED平分∠BEC，请问是否存在点E符合要求？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-12 难度:5 相似度:2

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197674. （2024•高新一中•八上期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA．过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．易证得△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图”．

【问题初探】如图1，创新小组同学对“K型图”非常感兴趣，他们记EC＝a，DC＝b，（a＜b），AB＝c，他们提出以下猜想：
①a+b＜c；②

；③

．
以上猜想中你认为正确的有　②③　（填序号）；
【应用探究】如图2，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣4x+4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求△PQR的面积．
【拓展延伸】
随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图3，设计师标记公园原址为长方形AOBC，并以点O为原点建立平面直角坐标系，已知A、B的坐标分别是（0，30），（20，0）．设计师准备在原花园的两边OA和OB上分别选取点D和点E，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形DEF区域作为餐饮角，由于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点F的位置，使得点F到点C的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点F的位置，并求出CF的最小值．

共享时间:2024-11-14 难度:5 相似度:2

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197522. （2024•曲江一中•八上期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B．

（1）求直线AB的解析式；
（2）点D是在直线AB上的动点，是否存在点D，使得

？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由．

共享时间:2024-11-20 难度:5 相似度:2

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197474. （2024•爱知中学•九上期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，-8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG=AF．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）是否存在点E，使得△FCG是直角三角形？若存在，求点E坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-11-21 难度:5 相似度:2

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197425. （2024•汇知中学•八上期中） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴，x轴于A（0，3），B（-9，0）两点．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）点E的坐标为（6，0），若在y轴上存在点F，使得△AEF是等腰三角形，请求出点F的坐标．

共享时间:2024-11-27 难度:5 相似度:2

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197179. （2023•交大附中•八上期末）（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线

与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；
探究提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．

共享时间:2023-02-06 难度:5 相似度:2

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197748. （2024•西工大附中•八上期中）已知直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a﹣b|+（b﹣6）²＝0．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，若点C在第二象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△OCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点C在线段OB上，点D在AB的延长线上，且AC＝CD，△ACM是以AC为直角边的等腰直角三角形（点M在第一象限），CN⊥AD于点N，求

的值．

共享时间:2024-11-24 难度:5 相似度:2

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197157. （2023•尊德中学•八上期末） $德优题库$ 在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，-2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．

共享时间:2023-02-05 难度:5 相似度:2

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197131. （2023•铁一中学•八上期末）如图，直线

与y轴交于A点，与x轴交于B点．
（1）求A、B的坐标；
（2）点C为第二象限的一点，且△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上找一点P，使得|PA﹣PC|最小，求点P的坐标．

共享时间:2023-02-13 难度:5 相似度:2

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196877. （2024•西安三中•八上期末）（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线

共享时间:2024-02-27 难度:5 相似度:2

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196704. （2024•西工大附中•八上期末）如图，直线

与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．
（1）BC的长为　　，OD的长为　　；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-02 难度:5 相似度:2

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193033. （2023•西安二十三中•八上二月） $德优题库$ 如图，直线l₁：y=kx+1与x轴交于点D，直线l₂：y=-x+b与x轴交于点A，且经过定点B（-1，5），直线l₁与l₂交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．