已知抛物线的焦点到准线的距离为求的方程已知为坐标原点点在上点满足求直线斜率的最大值

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19751. （2021•陕西省•乙卷）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足

＝9

，求直线OQ斜率的最大值．

共享时间:2021-06-21 难度:4

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[考点]

抛物线的性质，直线与抛物线的综合，三角不等式，

[答案]

答案详见解答

[解析]

（1）解：由题意知，p＝2，
∴y²＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y²＝4x，F（1，0），
设点Q的坐标为（m，n），
则

＝（1﹣m，﹣n），

∴P点坐标为（10m﹣9，10n），
将点P代入C得100n²＝40m﹣36，
整理得

，
∴

，当n＝

时取最大值．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"抛物线的性质,直线与抛物线的综合,不等式"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169395. （2024•西安中学•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.33

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171481. （2023•西工大附中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y²＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.33

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170793. （2020•西安中学•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:1.33

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170465. （2022•西工大附中•高一下期末）如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S₁，S₂．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求

的最小值及此时点G的坐标．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.33

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170302. （2022•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.33

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170148. （2023•铁一中学•高二下期末）已知曲线C上任意一点M满足|MF₁|﹣|MF₂|＝2，且F₁（﹣2，0），F₂（2，0）．
（1）求C的方程；
（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F₂（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：点R在定直线上．

共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:1.33

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169216. （2025•师大附中•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.33

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166331. （2024•西安中学•高二上二月）已知直线l经过抛物线y²＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB长的最小值．
（3）过抛物线顶点O作两条相互垂直的直线OM，ON分别交抛物线于M，N．证明：直线MN过定点．

共享时间:2024-12-23 难度:1 相似度:1.33

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166528. （2024•城关中学•高二上二月）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²＝2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.33

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167604. （2023•新城一中•高二上二月）如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）²+y²＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:1.33

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172093. （2023•铁一中学•高二下期中）已知F为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知P（x₀，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k_PM•k_PN＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:0.83

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170033. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（0＜p＜6）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P（1，2），求直线l的方程．

共享时间:2023-02-04 难度:2 相似度:0.83

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171592. （2023•西安三中•高三上期中）已知F为抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为﹣1，△OFM的面积为4．
（1）求C的方程；
（2）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:0.83

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171504. （2023•铁一中学•高二上期中）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:0.83

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:0.83

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dgyz2021

2021-06-21

高中数学 | | 解答题

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2021年陕西省高考数学（文科）试卷（全国乙卷）

更新:2021-06-21 07:43浏览量:662

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