阅读下列材料常用的分解因式的方法有提公因式法公式法但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解如细心观察这个式子就会发现前两项可以用提公因式法后两项也可用提公因式法前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了过程将此种因式分解的方法叫做分组分解法请在这种方法的启发下解决以下问题因式分解

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196560. （2024•莲湖区•八下期末）阅读下列材料：
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“m²-mn+2m-2n”细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：m²-mn+2m-2n=（m²-mn）+（2m-2n）=m（m-n）+2（m-n）=（m-n）（m+2）．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题．
（1）因式分解：x³-3x²-4x+12．
（2）已知m+n=7，m-n=3，求m²-n²+2m-2n的值．
（3）若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a²+ab+c²-bc=2ac,判断△ABC的形状，并说明理由．

共享时间:2024-07-24 难度:5

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[考点]

因式分解的综合应用，

[答案]

（1）x³﹣3x²﹣4x+12＝（x+2）（x﹣2）（x﹣3）．

（2）27．

（3）△ABC为等腰三角形，理由见解析过程．

[解析]

解：（1）x³﹣3x²﹣4x+12
＝（x³﹣3x²）﹣（4x﹣12）
＝x²（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x²﹣4）（x﹣3）
＝（x+2）（x﹣2）（x﹣3）．
（2）进行因式分解，得：m²﹣n²+2m﹣2n＝（m²﹣n²）+（2m﹣2n）＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m+n+2）（m﹣n），
将m+n＝7，m﹣n＝3代入，得：m²﹣n²+2m﹣2n＝（7+2）×3＝27．
（3）△ABC为等腰三角形，理由如下：
a²+ab+c²﹣bc＝2ac，
化简整理得，a²+ab+c²﹣bc﹣2ac＝0，
即（a²+c²﹣2ac）+（ab﹣bc）＝0，
（a﹣c）²+b（a﹣c）＝0，
（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，
∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a﹣c+b≠0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
因此，△ABC为等腰三角形．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1-2（x-y）+（x-y）²；
（2）当n为何值时，代数式（n²-2n-3）（n²-2n+5）+17有最小值？最小值为多少？

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（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：；
（3）利用这个公式说明2¹⁶-1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除．

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＝（m²﹣mn）+（2m﹣2n）
＝m（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+2）．
小颖：4x²﹣y²﹣z²+2yz
＝4x²﹣（y²+z²﹣2yz）
＝（2x）²﹣（y﹣z）²
＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z）．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题：
（1）因式分解a³﹣3a²+a﹣3；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a²﹣2ac+c²＝ab﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．

共享时间:2024-05-12 难度:5 相似度:2

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（1）根据上述方法，若多项式为x²﹣16，当x＝15时，求出锁屏密码；
（2）若王老师选取的多项式为x³﹣x，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．

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