综合与实践七年级某数学活动小组在探究三角形时提出了如下数学问题问题情境如图平面内有三个点则长度的最大值为深入探究如图所示和均为等腰直角三角形其中试探究与的数量关系并说明理由延伸拓展如图所示是边长为的等边三角形为的中点为平面内一点且连接以为边向外作等边连接请写出的最大值并说明理

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185621. （2024•铁一中学•七下期中）综合与实践：七年级某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
（1）【问题情境】如图（1），平面内有三个点A，B，C，AB=8，AC=6，则BC长度的最大值为；
（2）【深入探究】如图（2）所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECD=90°，试探究BE与AD的数量关系，并说明理由；
（3）【延伸拓展】如图（3）所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E为平面内一点且DE=1，连接CE，以CE为边向外作等边△CEF，连接AF，请写出AF的最大值，并说明理由．
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[考点]

三角形综合题，

[答案]

（1）14；

（2）BE＝AD，理由见解析；

（3）AF的最大值为3．

[解析]

解：（1）∵AB＝8，AC＝6，
∴BC≤AB+AC，
∴BC≤14，
∴BC的最大值为14，
故答案为：14．
（2）BE＝AD．
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD．
在△ACD和△BCE中，

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（3）AF的最大值为3．
理由：连接BE，

∵△ACB和△FCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE＝AF，
∴BE有最大值时，AF最大，
∵D为BC的中点，
∴BD＝

＝2，
∵DE＝1，
∴BE≤BD+DE＝3，
∴BE的最大值为3，
∴AF的最大值为3．

[点评]

本题考查了"三角形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

192418. （2023•西工大附中•八上一月）问题背景
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以

，从而得出结论：

．
小花同学探究问题的思路是：过D作DE⊥DC，且DE＝DC．连接AE，证△BDC≌△ADE，易证C、A、E三点共线，

，从而得出结论：

．
问题提出
（1）在图①中，若AC＝2，BC＝4，则CD＝　　；
问题探究
（2）如图③，在等边△ABC中，点D，E在边BC上，且BD＝CE＝6，连接AD，AE，若∠DAE＝30°，求△ABC的边长．（提示：直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半）
问题解决：
（3）如图④，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝4

，AD⊥BC，点E，F在边BC上，且满足EF²＝BE²+FC²，在射线AE上取一点P使得AP＝AF，求DP最小值．

共享时间:2023-10-22 难度:1 相似度:2

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185527. （2024•高新一中•七下期中）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D，E．请直接写出DE，BD和CE的关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90°＜α＜180°，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明． $德优题库$

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:2

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180271. （2024•逸翠园中学•七下二月）【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．求证：CD+CE=CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． $德优题库$

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:2

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180985. （2024•高新二中•八下一月）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，则BN的长为　　；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？　　（直接回答：“是或不是”）若是，当

，求BN的长，若不是，说明理由．

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:2

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181397. （2024•经开一校(原经发)•七下二月）在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD=CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE=α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S_△ABC=4，求△ACF的面积．
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185059. （2024•师大附中•九上期中）如图1，已知四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＜AD，对角线AC平分∠BAD，BC＝CD．
（1）求证：BC⊥CD．
（2）如图2，延长DA，CB交于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为H，过点E作EF⊥DH交DH延长线于F，DF，EC交于G．求证：DF•DG＝CD•EG．
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EQ⊥EC交CA延长线于Q，EQ：CD＝2：3，CG＝1，求AB的长．

共享时间:2024-11-10 难度:1 相似度:2

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185083. （2024•师大附中•八上期中）【问题情境】
（1）如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，线段AD与BE的数量关系为　．
【变式探究】
（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且BF+BD＝CD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE，求∠ACE的度数．
【拓展应用】
（3）如图3，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2，BC＝6，点D是BC上的动点，以AD为腰向右作等腰△ADE，使得DE＝AD，∠ADE＝45°，连接EA、EC，则△CDE的面积是否存在最大值？若存在，求出其面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-15 难度:1 相似度:2

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185181. （2025•高新三中•七下期中）【问题提出】
（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，AD是△ABC的中线，若AB=4，AC=6，求BC和AD的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了BC的取值范围，请你也算一算，BC的取值范围为．
【探究方法】
（2）他们遇到的困难是算不出AD的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现了一种新的方法，具体做法如下：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．可证出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围为．
【迁移应用】
（3）如图②，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD．
（4）如图③，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，请你判断线段AD与EF的关系，并加以证明．
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185251. （2024•交大附中•八上期中）【思维启迪】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD到点E．使DE＝AD，连接BE，则AC与BE的数量关系为　　，位置关系为　　．
【思维应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接AD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接BE，若AD⊥BE，请用等式表示AB，AD，BE之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在射线DB上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为点F，连接FD．若

，BF＝2，请直接写出FD的长．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:2

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185553. （2023•高新三中•八上期中）（1）问题发现：
如图1，等腰直角△AOB置于平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，0），（0，4），D是AB上一点，AD＝OA，则点D的坐标为　　．
（2）问题探究：如图2，若点A，B的坐标分别为（16，0），（0，12），其余条件与（1）相同，求经过O，D两点的直线表达式．
（3）问题解决：国庆前夕，大唐芙蓉园景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3，△ABO是景区东门的广场一角，OA，OB两面墙互相垂直，景区管理部门设计将OA，OB墙面布置成历史人文宣传墙，AB边上用建筑隔板搭出AD段将该角落与广场其他区域隔开，AD段布置成长安八景图，剩余BD部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到出入安全，还需在靠近出入口的E处建一个安检点．已知AD＝OA＝16m，OB＝12m，BC平分∠OBA，安检点E在BC与OD的交点处．求点E分别到OB，OA墙面的距离．

共享时间:2023-11-24 难度:1 相似度:2

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180150. （2024•长安区•八下二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF∥AC交AB于点F；
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？
（3）求证：DC=EF．

共享时间:2024-06-21 难度:1 相似度:2

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185648. （2024•铁一中学•八下期中）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3．则当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值是．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE，求出线段BE长的最大值并说明理由．
（3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园△BCD，要求CB=CD，∠BCD=90°，且AC=1000米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段AD最长，试求线段AD长的最大值及此时点C到直线AB的距离．
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185674. （2024•滨河中学•八下期中）【发现问题】
如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．
（1）请回答：在图1中，∠PDB＝　　，PB＝　　．
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，

，PC＝

，求∠APC和AC的长．
【灵活运用】
（3）如图3，某公园中有一块四边形空地ABCD，连接AC，BD．已知AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6

米，DC＝9米，公园规划部计划在四边形ABCD内种植郁金香以供游客观赏，并将AC修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使AC的长度尽可能大（AC的宽度不计），求此时种植郁金香的面积．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:2

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190324. （2025•高陵区•八上期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．
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【概念理解】
（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）．
①△AOB “优美三角形”（填“是”或“不是”）．
②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．
【应用拓展】
（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度数．

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190325. （2025•高陵区•八上期末）问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，且到直线l的距离AM=1，BN=2，P是直线l上的一点．若MN=4，则PA+PB的最小值为．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，点A，B到直线l的距离AM=1，BN=2，P是直线l上的一点．若MN=4，求PA+PB的最小值．
问题解决
（3）某市进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强本市老旧小区居民的幸福感与安全感．如图3，OM是原有天然气管道，ON是一条与OM垂直的街道，A，B是位于OM，ON内部的两个老旧小区，且小区A与OM的距离为2km,与ON的距离为6.5km,小区B与OM的距离为5km,与ON的距离为2.5km.现计划从OM处选一点P，铺设燃气管道PA，AB，PB．若1km的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号）
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dyczsxyn

2024-05-10

初中数学 | 七年级下 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学七年级（下）期中数学试卷

更新:2024-05-10 08:50浏览量:12

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